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積分の中での変数変換
はじめまして。 積分計算の途中の変数変換について質問させてください。 g(x,t)=∫[０，ｔ] f(x+s-t,s)ds・・・（１） ∫[0,t]g(x+t-s,s)ds・・・（２） を計算しようとしているのですが、なかなかうまくいきません。 回答としましては、 1/2(∫[0,t]｛∫[x-(t-s),x+(t-s)]f(y,s)dy｝ds) となっているのですが、どうしても、２つ目のインテグラルの範囲を回答のようにできません。 ちなみに、（１）より g(x+t-s,s)=∫[0,s] f(x+t-s+u-s,u)du として僕は計算しているのですが、これ自体がそもそもだめなのでしょうか？ どうかよろしくお願いします。
- ikecchi
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- eatern27
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すいません。補足を頂いていた事に気付いてませんでした。 いつ補足を頂いたのか分からないので、もう解決されたのかもしれませんが、一応。。。 まず、 ＞＝1/2(∫[0,t]｛∫[x-(t-s),x+(t-s)]f(y,z)dy｝dz) についてですが、すいません。 ＝1/2(∫[z:0,t]｛∫[y:x-(t-z),x+(t-z)]f(y,z)dy｝dz) の間違いです。(yの積分範囲にあるsをzとしました)失礼しました。 ＞D'の具体的な計算というのはどう行うのでしょうか？ 細かいことは抜きにしますが、 Ｄというのは、us-平面上で、点(0,0),点(0,t),点(t,t)を頂点とする三角形です。 y=x+t+u-2s,z=uの変数変換によってこれらの点がyz平面上のどこに移るかと言うと、 点(0,0)→点(x+t,0) 点(0,t)→点(x-t,0) 点(t,t)→点(x,t) に移ります。この変数変換は線型変換なので、三角形Ｄは、これら３つの点を頂点とする三角形に移ります。 これがＤ'です。重積分を累次積分(?)の形に直せば、先に書いたような積分になります。
- eatern27
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＞g(x+t-s,s)=∫[0,s] f(x+t-s+u-s,u)du はあってると思いますよ。 これを∫[0,t]g(x+t-s,s)dsに代入すると、 積分範囲は、(u-s平面上で)点(0,0),点(0,t),点(t,t)を頂点とする三角形の内部である事が分かります。この三角形をＤと書くことにすれば、 ∫[0,t]g(x+t-s,s)ds ＝∬_D (x+t+u-2s,u)duds となります。y=x+t+u-2s,z=uで変数変換すると、ヤコビアンは1/2なので、積分範囲をＤ'とすれば、 ∬_D (x+t+u-2s,u)duds ＝(1/2)∬_D' (y,z)dydz である事が分かります。D'を具体的に計算すると、 (1/2)∬_D' (y,z)dydz ＝1/2(∫[0,t]｛∫[x-(t-s),x+(t-s)]f(y,z)dy｝dz) となります。
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