次の条件をみたす２変数多項式

質問

次の条件をみたす２変数の多項式f(x,y)を教えて下さい。
条件は２つです。
【条件１】
(∂/∂x)f(x,y)＋(∂/∂y)f(x,y)＝０
【条件２】
(∂^2/∂x∂y)f(x,y)＝０

簡単な例としてはf(x,y)=x-yというのがありますが、
できれば２次式でお願いしたいです。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

2次式では存在しませんね。

存在しない証明
f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+fとおけるとすると
(∂/∂x)f(x,y)＋(∂/∂y)f(x,y)=2ax+cy+d+2by+cx+e=0
(∂^2/∂x∂y)f(x,y)=c=0
2a+c=0
2b+c=0
d+e=0

a=b=c=0,e=-d
∴f(x,y)=d(x-y)+f
（dとfは任意の定数）
２次の係数はすべてゼロになる。
したがって2次式は存在しないことになります。

回答No.5

endlessriver

＃３です。勘違いしました。
申し訳ございません。m(_ _)m

回答No.4

oyaoya65

#1です。
【条件１】と【条件２】を同時に満たす２じ関数ですか？

A#1での回答は同時に満たす２次の関数は存在しないです。
簡単な例が挙げられていましたので同時に満たすものと取り回答しました。

【条件１】と【条件２】が関係なく、独立した別の質問なら、A#3さんのような回答になりますね。

質問者さんの質問がどちらでしょう？

回答No.3

endlessriver

以前にも似た問題がありました。2次式とか多項式と言わず、これらは一般解が求められます。
【条件１】
u=x-y, v=yと変数変換します。
∂f/∂x=∂f/∂u (∂u/∂x=1, ∂v/∂x=0だから)
∂f/∂y=-∂f/∂u + ∂f/∂v (∂u/∂y=-1, ∂v/∂y=1だから)
以上により
0=∂f/∂x＋∂f/∂y＝∂f/∂v　を得る。
fをvでテイラー（マクローリン？）展開すると
f(u,v)=f(u,0)+v∂f(u,θv)/∂v (0<θ<1)
=f(u,0)
すなわち、関数fを任意として、u=x-yのみの関数となる。
【条件２】
これは有名な波動方程式の一般解を求めるときの式です。
fをvでテイラー展開すると
f(x,y)=f(x,0)+y∂f(x,θy)/∂y (0<θ<1)
さらに∂f(x,θy)/∂yをxでテーラー展開します。
f(x,y)=f(x,0)+y{∂f(0,θy)/∂y +x∂∂f(φx,θy)/∂x∂y } (0<θ<1, 0<φ<1)
=f(x,0)+y∂f(0,θy)/∂y
最後の式はxのみの関数とyのみの関数の和ですからg, hを任意として
f(x,y)=g(x)+h(y)
となります。

したがって、いずれの関数も任意ですから2次式と言うなら簡単なもので
【条件１】a(x-y)^2　など。
【条件２】ax^2+by^2　など。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1681686

回答No.2

ojisan7

一般的に解けば、
f(x,y)＝a(x-y)+c
となりませんか？これ以外の解は存在しないと思いますが・・・。