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次の不等式をみたす点の領域
次の不等式をみたす点の領域を図示せよ。 （１）（ｘ＾２＋４＾２－４）（ｘ＋ｙ－１）≧０ （２）（ｘ－ｙ）（ｘ＾＋３ｙ＾２－１２）＞０ （１）の解答 ｛ｘ＾２＋４ｙ＾２≧４ ｘ＋ｙ≧１ （Ａ） ｛ｘ＾２＋４ｙ＾２≦４ ｘ＋ｙ≦１ （Ｂ） 上記を図示して、境界線を含めて、斜線部分を得る。 質問→ この問題よくわかりません＞＿＜ 解答をみると不等式の二つのカッコの中にある式を 抜き出して、 ｘ＾２＋４ｙ＾２－４≦４と≧４の時としてますけど これはどうしてこういう風にしてもいいのですか？＞＿＜ あと、斜線の部分は私の教科書に描いてあるのですけど、どうやったら斜線の部分が書けるのかゼンゼン解りません＞＿＜ 私はこの問題 ｘ＾２＋４ｙ＾２≧４ とｘ＋ｙ≧１（Ａ）の所では まず楕円の式とみて、ｘ＾２/４＋ｙ＾２/１≧１ としてみました。そして横に２、縦に１の楕円を書きました。ただ、不等式の記号 ≧１という部分については どうしたら良いのか解りませんでした＞＿＜ で、この後に、不等式 ｘ＋ｙ≧１の方の式を 直線の式とみてｙ＝－ｘ＋１の直線を上で描いた楕円と同じように描けばいいと思って書きましたけど、不等式の記号がついた意味が解らないのでこれ以上解けませんでした＞＿＜ もう一点解らないのが、教科書の図を見ると楕円と直線との交点の部分に（８/５、－３/５）という のがありました。これは一体なんですか＞＿＜？？ 共有点を単純に求めている？？としても、この問題に なぜ求めてるのか？解りませんでした！！ （２）は（１）が解らないので解けませんでした！ あと、（１）みたいに同じやり方だとしたら （ｘ－ｙ）の部分を単純にｘ≧ｙとすれば良いのでしょうか？（ｘ＾２＋３ｙ＾２＞１２ですか？） 誰かこの問題教えてください！！
- nana070707
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あなたの解き方で合ってますしその方がわかり易く良い解答だと個人的には思います。 敢えて解答に乗っているやり方を選ぶ必要はないと思います。 不等式の領域を図で書くというのは最初は戸惑うかもしれませんが、一度わかれば一層関数への理解が深まると思います。 例えばx^2+y^2=1という関数があります。 これはご存知の通り原点中心の半径1の円となります。 それではこの関数がなぜ原点中心半径１の円となるか考えて見ましょう。 左辺はx^2+y^2です。これは原点と、ある点(x,y)との距離の2乗を表す式です。 そして右辺の1。これはその距離の2乗が1であると言っているのです。 従って、x^2+y^2=1という式は原点からの距離が1である点の集合ということを意味しているのです。 さて、ではx^2+y^2<1と成ったらどうなるでしょう。 同様に考えると、原点からの距離が1より小さいということを意味していることがわかると思います。 従ってこの不等式が表す領域は半径1の円の内部となるわけです。 ≦となっていれば円周上も含む領域になることもわかるでしょう。 直線でも同じです。 x+y>1だったら、ある点(x,y)を取ったときにその足し算x+yが1よりも大きいということを意味しています。
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- plexus
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＞どうしてこういう風にしてもいいのですか? 突き詰めた疑問が、「=４のときがかぶっているじゃないか！」ということなら、 確かに＞４のとき、＝４のとき、＜４のとき、 と３つに分けるべきですね。 それとも疑問が、４の前後で場合分けするのはどうしてか、ということなら、 AB≧０ ⇔ A≧０のときB≧０ A≦０のときB≦０ となるからです。 しかしあなたの考えた解答でも合っていますよ。 だって、 AB≧０ ⇔ A≧０かつB≧０、または A≦０かつB≦０ だからです。 では本質の問題いきましょう。 不等号を含んだ領域問題ですが、 教科書にも載ってると思うのでこれはヒントを教えます。なぜならこれらは暗記だけをして「どっちだっけ？」という理解をしてはならないと思うからです。 勝手な点を不等式の左辺に代入してください。 ｘ＾２/４＋ｙ＾２≧１ の左辺ｘ＾２/４＋ｙ＾２に、（０，０）を代入すると 左辺は０で、右辺は１です。 つまり、右辺のほうが左辺より大きくなっているので、（０，０）は求める領域には含まれません。 そしてもう一つ、 その不等式の等号成立は、境界線のみ、です。 さらに、不等式の左辺の２変数関数は微分可能なので連続です。 だから、「急にここだけ境界線を通らずに符号が逆転しちゃったよ！」なんてことは起きません。 これで正確な理解が得られるといいですね。 考えてわからないところがあればまたどうぞ。
お礼
返事書いていただいて、どうもありがとうございました！！ お礼を言うのおそくなってすみませんでした=..= おかげでわかりました！！ ありがとうございました！！
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お礼
返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました！！ おかげでわかりました！！（＾０＾）！！