微分演算子

質問

∂/∂x　がr,θ,φを用いた極座標表示で

∂ 　　∂r ∂ 　　∂θ ∂ 　　∂φ ∂
--- = --- --- + --- --- + --- ---
∂x 　 ∂x ∂r 　∂x ∂θ　　∂x ∂φ

と表されるのは何故なんですか？

ここで x=rsinθcosθ
　　　 y=rsinθsinφ
　　　 z=rcosθ　　　　　という関係が結ばれています。

回答No.2

Skynetwork · ベストアンサー

zはr,θの関数
rはx,yの関数
θはx,yの関数

とします。それぞれの全微分は
dz = (∂z/∂r) dr + (∂z/∂θ) dθ　…(1)
dr = (∂r/∂x) dx + (∂r/∂y)dy　…(2)
dθ = (∂θ/∂x) dx + (∂θ/∂y)dy　…(3)

になりますが、ここまではよいでしょうか？もし不明でしたら
全微分を復習してみてください。
さて、(1)式に(2),(3)を代入すると、
dz = (∂z/∂r){(∂r/∂x) dx + (∂r/∂y)dy}
+ (∂z/∂θ){(∂θ/∂x) dx + (∂θ/∂y)dy}

ですが、変形して、
dz = {(∂z/∂r)(∂r/∂x)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂x)}dx
+ {(∂z/∂r)(∂r/∂y)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂y)}dy　…(4)

ところが、zをx,yの関数と見ますと全微分は次のように書けます。
dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y)dy　…(5)

(4)と(5)は等しいはずですから、次の２つの式が得られます。
∂z/∂x = (∂z/∂r)(∂r/∂x)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂x)　…(6)
∂z/∂y = (∂z/∂r)(∂r/∂y)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂y)　…(7)

さて、(6)と(7)のz を消してみてください。
求めるものが見えてきましたか？

補足

回答ありがとうございます。
求めるものが見えてきました。
が、これはｒがx,yのみによる関数の場合ですよね？？
僕の質問ではdrの全微分（２）式に (∂r/∂z)dzを加えればよいのでしょうか？？

回答No.4

Skynetwork

>が、これはｒがx,yのみによる関数の場合ですよね？？
>僕の質問ではdrの全微分（２）式に (∂r/∂z)dzを加え
>ればよいのでしょうか？？　

はい、その通りです。rがx,y,zの関数として式を
書くと、とても長ったらしくなるので x,y のとき
だけを書きました。考え方は全く同じなので
もう大丈夫そうですね。

補足

そうですか。
わかりました！
ありがとうございました！

回答No.3

moby_dick

関数関係のことだけと思いますが。

x,y,zは、それぞれ、r,θ,φの関数で、
　x=rsinθcosφ
　y=rsinθsinφ
　z=rcosθ　
です。

それならば、逆に、r,θ,φは、それぞれ、x,y,zの関数です。
即ち、
　r=R(x,y,z)
　θ=Θ(x,y,z)
　φ=Φ(x,y,z)

任意の関数f(x,y,z)は、
f(x,y,z)=g(r,θ,φ)となり、
f(x,y,z)=g(R(x,y,z),Θ(x,y,z),Φ(x,y,z))です。
つまり、関数fは、関数gであり、
gは、r,θ,φの関数であり、
そのr,θ,φは、それぞれ、x,y,zの関数です。

従って、演算子の展開は、関数の関数の微分などの展開をして、提示のものになります。

回答No.1

0123456789A

まず、間違い指摘・・・
x=rsinθcosφ
です。

∂/∂xの意味は、y,z方向には動かさないでx方向に微小に動かすってことですよね。
デカルト座標でx方向だけに動かしたと思っても
極座標でみればr,θ,φの全ての方向に動いていることになります。
これはx=rsinθcosφという式を見れば、xは極座標の３つの文字の関数になっているとわかるでしょう。

補足

間違いの指摘、有難うございます。
そうですね＾＾
おっしゃるとおりだと思います。