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可能なのでしょうか?
stomachmanの回答
- stomachman
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どうも煮詰まっちゃってるみたいですね。 f(x)が何者かさっぱり分からない状態なので、計算できるかどうかは度外視して一般論。 被積分関数を g(x) = if f(x)≦1/2 then f(x) else 1-f(x) と書きます。すると、 g(x) = min{f(x), 1-f(x)} であり、 g(x) = 1-max{f(x), 1-f(x)} とも書けます。ここに、min{a,b}はaとbの小さい方、max{a,b}はaとbの大きい方を表す演算です。 f(x)の単調性は利用しませんで、「超離散化公式」という変な名前の公式を利用します。どういうものかと言うと、 列 X[j] (j=1,2,....,N)について、集合X={X[1],X[2],.....,X[N]}を考えると max X = lim ε ln( Σ(a[j]exp(X[j]/ε))) (超離散化公式) ここにlimはε→0の極限、Σはj=1~Nの総和、ln()は自然対数、exp()は指数関数です。また、列a[j](j=1,2,....,N)は任意の正の定数の列です。 ご質問は S=1-∫max{f(x), 1-f(x)} dx (積分はx=0~1) を求めればよいので、 S=1-lim ε∫ ln( A exp(f(x)/ε) + B exp((1-f(x))/ε)) dx ただし、AとBは任意の正の定数、limはε→0の極限、積分はx=0~1、 というのが計算できれば一応オッケーです。(A,Bが幾らであろうと答は変わりません。) こんなの計算するぐらいなら、f(x)=1/2を解く方が簡単そうな気がしますけど…
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