漸化式の極限

質問

次の条件で定義される数列{An}の一般項を求め、{An}の極限を求めよ。（書き方がよく分からないので、ちっちゃくしたに書く文字の前には　_ をつけておきました）
A_1=1 A_(n+1)=(1/3)A_(n）+2 　←問題

で、Ａ_(n+1) -3=(1/3)(A_(n) -3)　←この式の意味が分かりません・・・。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

＞A_(n+1)=(1/3)A_(n）+2

このタイプの漸化式を解く定石は次の形式の変形して

A_(n+1)＋Q＝P｛A_(n）＋Q｝

B_n=A_n +Qとおき公比Pの等比数列{B_n}に持ち込むことです。

B_n＝PB_(n-1)＝P^2・B_(n-2)＝・・・＝P^(n-1)・B_1

元に戻して

A_n＋Q＝P^(n-1)・(A_1＋Q)

A_n＝P^(n-1)・A_1＋Q｛P^(n-1)－1}

という風に求められるわけです。

＞Ａ_(n+1) -3=(1/3)(A_(n) -3)

という形式に変形できることは分かりますね。

上式に適用すれば
P＝1/3，Q＝-3
となり、
A_n＝(1/3)^(n-1)・A_1－3{(1/3)^(n-1)－1}

A_1＝1を代入すれば良いですね。

お礼

ありがとうございました！最近、特性方程式って言う技も習得しました。１つの問題でもいろいろアプローチの仕方があっていいですね！

回答No.3

oyaoya65

#2です。
A_nの極限について補充です。

A_(n+1)＋Q＝P｛A_(n）＋Q｝
A_n＝P^(n-1)・A_1＋Q｛P^(n-1)－1}
で｜P｜＜1ですから
P^(n-1)→0(n→∞）ですので
A_n→-Q（＝3）（n→∞）
ですね。

お礼

お礼遅れましたが・・・。助かりました！←テストで。
おかげで漸化式のところはできました！まさにこんな感じのやつでした(^^;　ありがとうございました！

回答No.1

noname#17965

Ａ_(n+1)=(1/3)A_(n)+2
これを変形すると、実は２個目の式
Ａ_(n+1)-3=(1/3){A_(n)-3}
になります。ここで
B_(n)=A_(n)-3とおくと、与式は
B_(n+1)=1/3*B_(n)
B_(1)=A_(1)-3=-2
つまり初項-2、公比1/3の等比数列になります。
後はいもづる式に判るでしょう。

この問題で重要なのは２個目の式がいかにして思いつくか、です。
A_(n+1)+α=1/3*{A_(n)+α}
とおいて、問題の式と上式が同じになるようにαを求めるのです。α＝-3ですね。この方法を覚えておけばこの種の問題はＯＫです。問題の式を変形して見覚えのある式にするのです。

お礼

ありがとうございました！助かりました！！