広義重積分の積分範囲について

質問

次の積分を求めよ。
（１）
D={(x,y):0≦y＜x≦1}のときの∬_D(1/√(x-y))dxdy

（２）
E={(x,y):0＜x≦y≦1}のときの∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdx

という二つの問題についてですが、解答を見て（１）についてはDをD_n={(x,y):1/n≦x≦1,0≦y≦x-(1/n)}とすればよいというのは分かったのですが、（２）についてはE_nを決めることが出来ません。解答には「E_nを右図のようであるとする」と書いていたのですが図は明らかにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}となっていました。
これでは最終的にn→∞としても最初の条件である0＜xが満たされないのでダメなように見えるのですがこれでよいのでしょうか？また解答のように図で示すのではなく上に書いたような不等式で示すにはどのように書けばよいのでしょうか？（この問題に関して）
まだ何題かしか解いていないのでイマイチ範囲の取り方がつかめません。何かポイントがありましたらアドバイスよろしくお願いします！

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

#1,#2です。
A#2に補足質問についての回答

＞「D_nを導入しなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3計算できます」と計算できるのは分かりますがここでxの積分範囲は[y→1]となっていてy＜x≦1と合わないのでやはりD_nを導入して極限を使わなければダメな気がするのですが...

厳密に言えば等号を含まない場合の積分の上限、下限では極限を取らないといけないことはおっしゃる通りです。ただし、積分が発散しないような場合は、極限を取らなくても積分結果は極限をとった場合と同じ積分結果が正しく求まりますね。

極限を取らない場合の積分の考え方
ステップ１）
0≦y＜1の範囲の任意のyを固定して
xで積分するわけです。
ここではxについての積分ですのでyは定数になります。
xの積分範囲はy＜x≦1から[y→1]ですね。
厳密に言えばy＜xで等号を含んでいませんのでxの下限はｙでないですが
∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx＝2√(1-y)となります。

ステップ２）
今度は0≦y＜1から積分範囲は[0→1]
∫[0→1]2√(1-y)dy＝4/3

となります。

＞ちなみに（２）も極限を取るにせよ結局は積分しなければ進めませんよね？

そうですね。積分を少し工夫しないといけませんね。
多分、ヤコビアンを使って変数変換をしないといけませんね。少し考えて見ましょう。

ただし、それが出来れば
∫[0→1]dy∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx
からも計算できてしまいますね。

お礼

よく分かりました！ありがとうございます！

回答No.4

oyaoya65

No1,2,3です。
A#3のつづきの補足です。

(2)の1/nを使わない方の重積分ですが、
(1/nを使った積分にも適用可能でしょう）

I=∫[0→1]dy∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx
H=∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx
とおいておきます。

Hの積分で0＜x≦y≦1から(この積分ではyは0＜y≦1の範囲の定数)
x=y tanθとおくと
xの積分範囲[0→y]はθの積分範囲[0→π/4]に変わります。
dx=y dθ/(cosθ)^2
1/{1/√(x^2+y^2)}=1/[y√{(tanθ)^2 +1}]=(1/y)cosθ
であることから
H=∫[0→π/4](1/cosθ)dθ
=log[{1+tan(θ/2)}/{1-tan(θ/2)}][0→π/4]
=log[{1+tan(π/8)}/{1-tan(π/8)}]
=log(1+√2)

I=∫[0→1]{log(1+√2)}dy
=log(1+√2)
となりました。
（ヤコビアンを使って変数変換しないで済みました。）

1/nで極限を取る方法で
上記の積分法を適用しみて積分値が同じになるか確認してみてください。

回答No.2

oyaoya65

#1です。

＞＞D_nを導入いなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3　で積分の計算できます。
＞なぜD_nを導入しないで積分計算できるのでしょうか？

被積分関数が積分可能な関数だからです。
(2)の方はできませんね。√中にx^2の項があるためです。

＞解答では確かにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}としていて計算のときも∫[1/n→1]dy∫[0→y](1/√(x^2+y^2))dxとして計算していました。これは誤植ということでしょうか？

誤植ですね。

補足

＞なぜD_nを導入しないで積分計算できるのでしょうか？
＞＞被積分関数が積分可能な関数だからです。
(2)の方はできませんね。√中にx^2の項があるためです。

何度もすみません。質問の仕方が悪かったです。「D_nを導入しなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3計算できます」と計算できるのは分かりますがここでxの積分範囲は[y→1]となっていてy＜x≦1と合わないのでやはりD_nを導入して極限を使わなければダメな気がするのですが...
ちなみに（２）も極限を取るにせよ結局は積分しなければ進めませんよね？

＞誤植ですね。
ありがとうございます。

回答No.1

oyaoya65

＞解答を見て（１）についてはDをD_n={(x,y):1/n≦x≦1,0≦y≦x-(1/n)}とすればよいというのは分かったのですが、

この仮定で積分を実行し、積分結果においてn→∞としてもいいです。

D_nを導入いなくても
∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3
で積分の計算できます。
（先ずxで積分し、その後、yで積分します。）

＞E={(x,y):0＜x≦y≦1}のときの∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdx

∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdy
のミスですね。

＞（２）についてはE_nを決めることが出来ません。解答には「E_nを右図のようであるとする」と書いていたのですが図は明らかにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}となっていました。
＞これでは最終的にn→∞としても最初の条件である0＜xが満たされないのでダメなように見えるのですがこれでよいのでしょうか？

●E_n={(x,y):1/n≦x≦y,1/n≦y≦1}として、n→∞とする。
の間違いですね。

＞また解答のように図で示すのではなく上に書いたような不等式で示すにはどのように書けばよいのでしょうか？（この問題に関して）

回答者に見えない図のことを書かれてもコメントできません。

補足

＞D_nを導入いなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3　で積分の計算できます。

なぜD_nを導入しないで積分計算できるのでしょうか？

＞●E_n={(x,y):1/n≦x≦y,1/n≦y≦1}として、n→∞とする。の間違いですね。

これなら私も納得できるのですが解答では確かにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}としていて計算のときも∫[1/n→1]dy∫[0→y](1/√(x^2+y^2))dxとして計算していました。これは誤植ということでしょうか？