- ベストアンサー
広義積分
(1)∬e^-(x+y)dxdy D={(x,y);x>=,0<=y<=1} この問題に対して ∫(n→0)dx∫(1→0)e^-(x+y)dy =∫(n→0)[-e^(x+y)](1→0)dx =∫(n→0)(-e^(-x+1)+e^-(x))dx =[e^-(x+1)-e^-(x)](n→0) =e^(-n+1)+e^(-n)-(1-(-1)) =e^(-n+1)+e^(-n)-2 =2 と解答したのですが、答えは（e-1）/eということで 間違いの箇所が分からず困っております。 どなたかご指摘お願いします
- tomatoaji
- お礼率2% (4/146)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
積分の上限、下限の書き方が逆のようですので入れ替えて書きます。 lim(n→∞)∫(0→n)e^(-x)dx∫(0→1)e^(-y)dy =lim(n→∞)∫(0→n)e^(-x)dx[-e^(-y)](0→1) =lim(n→∞)∫(0→n)(e^(-x)dx(1-e^(-1)) =lim(n→∞){[-e^(-x)](0→n)}(e-1)/e ={(e-1)/e}lim(n→∞)(1-e^(-n)) =(e-1)/e
関連するQ&A
- 広義重積分の問題
Ω＝{ (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y < 1} とします。 Ω上で ∬ （ x / （1 - x - y）^(1/2) ） dxdy を求めよ。 という問題です。 増加列として Ωn = { (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y ≦ 1 / n } をとり、Ωｎで重積分したあとに ｎ → 1 とすればよいと思ったのですが… 計算してみると添付画像のようになり、分母が０に近づくので発散してしまいます。 一応ここにも式で書いておきます。 積分範囲は 0 ≦ x ≦1/n , 0≦ y ≦-x + 1/n です。 ∬ （ x / （1 - x - y）^(1/2) ） dxdy ＝∫x dx ∫ {1 / （1 - x - y）^(1/2) } ｄｙ ＝∫x [ (2/3) (1 - x - y )^(-3/2) ] dx ＝（2/3） (∫{ 1 / (1 - 1/n )^(3/2) } dx - ∫{ x / (1 - x )^(3/2) } dx ) ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3）∫{ x / (1 - x )^(3/2) } dx （ √(1-x) = t と置く。 1≦t≦√(1-1/n) ) ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3）∫((1-t^2)/t^3 ) ・(-2t) dt ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3） [ 2t + (2/3) t^(-3)] ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3）{2√(1-1/n) + 2/3(1-1/n)^(3/2) - 8/3} ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （4/3）√(1-1/n) - 4/9 (1-1/n)^(3/2) + 16/9 私の解答はどこで間違っているのでしょうか？ 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義重積分の積分範囲について
次の積分を求めよ。 （１） D={(x,y):0≦y＜x≦1}のときの∬_D(1/√(x-y))dxdy （２） E={(x,y):0＜x≦y≦1}のときの∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdx という二つの問題についてですが、解答を見て（１）についてはDをD_n={(x,y):1/n≦x≦1,0≦y≦x-(1/n)}とすればよいというのは分かったのですが、（２）についてはE_nを決めることが出来ません。解答には「E_nを右図のようであるとする」と書いていたのですが図は明らかにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}となっていました。 これでは最終的にn→∞としても最初の条件である0＜xが満たされないのでダメなように見えるのですがこれでよいのでしょうか？また解答のように図で示すのではなく上に書いたような不等式で示すにはどのように書けばよいのでしょうか？（この問題に関して） まだ何題かしか解いていないのでイマイチ範囲の取り方がつかめません。何かポイントがありましたらアドバイスよろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分について
大学の微分積分のテストが追試になってしまい勉強中なのですが、広義積分が良くわからなくって困ってます。どなたかコツみたいなものを教えていただけないでしょうか？（正方形領域や円領域に簡単に近似できるものはわかります。） 例えば、次のような問題がよくわかりません。 ・∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0＜x≦1,0≦y≦x^2} ・f(x,y)=2(x-y)/(x+y+a)^3,(a＞0)に対して次の値を求めよ。 ∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx (積分範囲はすべて0～∞) どなたか解き方のヒントでもいいのでください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限２重積分の問題です。
∫(0→∞)e(-x^2)dxの値を、∬(R^2)e(-x^2-y^2)dxdyの結果を利用して求めよ。 という問題です。 ∬(R^2)e(-x^2-y^2)dxdy =∫(0→n)dr∫(0→2π)dθe(-r^2)r =2π∫(0→n)e(-r^2)rdr =2π[-1/2*e(-r^2)](n→∞) =-π(e(-n^2)-1)→π(n→∞) と求まったのですが、これをどのように利用して ∫(0→∞)e(-x^2)dxの値を求めるのかが分かりません。 答えは√(π)となるようです。 どなたか教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 【積分の途中でlimを？】広義積分の問題について
∬1/√(x^2-y^2) dxdy 積分する領域は、x^2>y^2 0<x<1 となってます。 増大列を用いて、 ∫[1/n → 1]dx ∫[-x-(1/n) → x-(1/n)] f dyとして、最後にnを∞に飛ばせばいいのですよね。 しかし、 ∫[-x-(1/n) → x-(1/n)] f dyをひとまず計算したところ、 2arcsin(1-1/nx)となりました。 これをxで積分したいとは思わないので、 この段階でnを飛ばして、2arcsin1 =πとし、これをxで積分して、 最終的にπ(1-1/n)となりました。 で、πに収束。 答えは合っていたのですが、疑問なのは途中でnを飛ばしてもよかったのかなーと。 たまたま答えがあっていたんじゃないかと不安です。 どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義の二重積分の求め方
次の問題が途中までしかわかりません。 問：次の広義の二重積分を求めよ。 ∬[D] (x＾2)(e＾(-x＾2-y＾2))dxdy D:｛x≧0 y≧0｝ ｛Ｄn｝を原点を中心とした半径nの円とＤとの共通部分とすれば、｛Ｄn｝はＤの近似増加列である。ここで、x=rcosθ,y=rsinθに変換し計算すると、 ∫dθ∫(r＾2)((cosθ)＾2)(e＾(-r^2))rdr （θの積分範囲：0→π/2、 rの積分範囲：0→n） ＝-(π/32)(4e^(-n^2)n^3 + 6e(-n^2)n^2 + 6e(-n^2)n + 3e(-n^2) - 3) となりました。（この計算は少し自信がありません） 残りの、n→∞にとばす計算の仕方がわかりません。 因みに、答えはπ/8 です。 どなたかご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の証明
aを実数とし、nを自然数とする。このとき ∫(0→∞) (x^n)*(e^-ax) dx = n!/a^(n+1) が成り立つことを示せという問題があります。 （私の解答） In = ∫(0→∞) (x^n)*(e^-ax) dx とおくと、 In = [ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞) + n/a∫(0→∞) (x^(n-1))*(e^-ax) dx = n/a*I(n-1)となる。 ここで、Io = [ (-1/a)*(e^-ax) ](0→∞) = 1/aより In = n/a*I(n-1) = (n/a)*(n-1)/a*…*(1/a)*Io = (n!/a^n)*(1/a) = n!/a^(n+1) よって成り立つ。 2行目の広義積分[ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞)について、私はおそらく0になるだろうと思い、その部分を0と置いて計算しています。しかし[ (-(x^n)/a)*(e^-ax) ](0→∞) = 0 は本当に成り立つのでしょうか？ その証明の仕方が分からず困っています。分かる方がいましたら解説のほうよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 重積分
次の重積分について、問題を解いてください。 R>0として、領域D,D_+,D_- が D = {(x,y)|0≦x≦R,0≦y≦R} D_+ = {(x,y)|x^2+y^2≦2R^2,x≧0,y≧0} D_- = {(x,y)|x^2+y^2≦R^2,x≧0,y≧0} で 与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、aは正の定数である。 (1) 2重積分∮∮D e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_+ e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyの大小関係を示しなさい。 (2) 2重積分 ,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyを計算しなさい。 (3) (2)の結果をR→∞としたときの極限値を求めよ。 (4) 定積分∮(0→∞) e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a) を証明せよ。 途中式もお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
