同値な距離??

質問

(R^2,d)をユークリッド空間とする。
x=(x1,x2) y=(y1,y2)∈R^2　にたいして
d'(x,y)=d(x,0)+d(y,0) x1y2≠x2y1　のとき
　　　　 d(x,y)　　　　　x1y2=x2y1　のとき
とおく。
このときd'はR^2の距離であるが、dと同値ではない事を示せ。

d'がR^2の距離であることは示せたのですが同値な距離というのが出来なくて…
位相空間Q(R^2,d)について
Q(R^2,d)⊂Q(R^2,d')
Q(R^2,d')⊂Q(R^2,d)
を示せれば同値であるのでどちらかが成り立たない場合を示せればいいと分かったのですが、
どう示せばいいか分かりません…

x1y2≠x2y1　のときを考える。
d(x,y)<d(x,0)+d(y,0)=d'(x,y)　となるので実数の連続性から
d(x,y)<ε<d'(x,y)　となるεが取れる(ε>0)
ここでU∈Q(R^2,d)を取ると
∃(ε>0)　s.t.　Vε(x,d)⊂U
しかし
Vε(x,d')⊃Vε(x,d)⊂U
となるのでU∈Q(R^2,d')とならない
よって同値ではない。

どうでしょうか…全然自信がありません( ´・ω・`)

回答No.1

ojisan7

【Vε(x,d')⊃Vε(x,d)⊂U
となるのでU∈Q(R^2,d')とならない】
の部分がどうも、あやしいですね。

考え方として、dはユークリッド空間の距離であることを使えば良いと思います。

距離d,d'が同値であることの定義は、keisukeさんの書かれた定義でも良いですが、下記のように書いた方がこの場合は使いやすいと思います。

∃γ,δ(>0) ∀ｘ,y ; γd(x,y)<=d'(x,y)<=δd(x,y)

ここで最初の不等号は明らかに成り立ちますので、後ろの不等号が成立しないことを証明すればよいと思います。

d'(x,y)<=δd(x,y)
となる定数δが任意のx,yに対して存在すると仮定します。
結局、
d'(x,y)/d(x,y)＝{d(x,0)+d(y,0)}/d(x,y) <=δ
となることを言えば良いのですが、左辺は有界ではありません。（x,yは単位円周上の２点だと考えれば良いと思います。dはユークリッド距離ですよ。）

あとは、自分で考えて下さい。