小学算数・・整数の問題・・教えてください

質問

何度考えてもしっくりいきません。分かりやすい解答をおしえてください。ｗｗ

ある２桁の整数を８と９で割ります。その時の商の小数第一位をそれぞれ四捨五入すると同じ値になりました。

(1)この時の２桁の整数の中で最大の物を求めなさい。
(2)このような２桁の整数は全部で何個ありますか。

(2)の場合、解答では商の小数第一位を四捨五入して、整数部分の「一の位」が９になるとき、８になるとき、という風に、大きい順に試し、その個数を足し合わせています。理解できません。(^^;;
無論(1)の場合も商の小数第一位を四捨五入して、９になる数、８になる数、７になる数という風にそれぞれ試しているのですが、何故そのようにするのかわかりません（；；）
なぜでしょうか？

また、
もっと分かりやすい方法があれば大感激です。
ヨロシクお願いします。

回答No.4

ZeusSeesSuez

ANo.2です。

余りを意識しない方法もありますが、その場合、
未知数を使わない説明が考えつきません。
とりあえず未知数を使ってやってみます。

計算結果をkとおくと、その場合の２桁の整数の範囲は
k-0.5≦n/9＜k+0.5　かつ
k-0.5≦n/8＜k+0.5　
すなわち、
9k-4.5≦n＜9k+4.5　かつ
8k-4≦n＜8k+4　(10≦n＜100)
となります。
k,nがともに正の整数であることから、
２つの不等式は
9k-4.5≦n≦8k+3　(10≦n＜100)
とまとめられます。
ここで、nが存在するためには
9k-4.5≦8k+3　が成立することが必要です。
この不等式を解くと
k≦7.5 kは整数ですから、kの最大値はたかだか7となります。

k=7のとき、58.5≦n≦59　(10≦n＜100)
より、n=59で成立しますから、これが条件を満たす最大の整数です。

条件を満たす整数の数については、kを７から１つずつ減らしていって、
足し上げます。
kが１減るごとに範囲の下限は9ずつ、上限は8ずつ減っていきますから、
k=7のとき、58.5≦n≦59　１個
k=6のとき、49.5≦n≦51　２個
k=5のとき、40.5≦n≦43　３個
k=4のとき、31.5≦n≦35　４個
k=3のとき、22.5≦n≦27　５個
k=2のとき、13.5≦n≦19　６個
k=1のとき、10≦n≦11　２個
と、多少ラクになります。

あと、テキストでは説明が大変ですが、
グラフを使う方法もありそうです。

お礼

あろがとうござい、ました（＾＾またよろしくおねがいします！

回答No.3

tatsumi01

(1) ですが
0.5<= N/8 - N/9 < 1.0
ですから
36 <= N < 72
はわかりますね。その後は個別に見るより仕方がないと思いますがわかりません。

回答No.2

ZeusSeesSuez

解答が整数部分の「１の位」に注目している意味はよくわからないのですが、
算数の範囲で考える場合、どっちみち
計算結果ごとに条件を満たす整数を数えて足し上げる方法になりそうです。

まず、
９で割って商の小数第１位を四捨五入するという事は、
余りが４以下の場合は切り捨てで、５以上の場合は切り上げになります。
８で割る場合は、
余りが３以下の場合は切り捨て、４以上で切り上げです。

では、９で割った場合の計算結果が１になる整数はどんな数でしょう。
商が０で切り上がる場合か、商が１で切り捨ての場合、
９で割って"０余り５"～"１余り４"となる数、即ち５～13です。
同様に、計算結果が２になるのは、
"１余り５"～"２余り４"、つまり14～22となります。
商が１増えるということは、元の数が９増えることになりますから、
以下同様です。２桁の整数という条件も加味してまとめると
１となるのは、10～13
２となるのは、14～22
３となるのは、23～31
４となるのは、32～40
５となるのは、41～49
６となるのは、50～58　
７となるのは、59～67…

８で割った場合も同様に
１となるのは、10～11
２となるのは、12～19
３となるのは、20～27
４となるのは、28～35
５となるのは、36～43
６となるのは、44～51
７となるのは、52～59…

条件を満たす整数は、計算結果が同じ数の時に重複する部分です。

１のときは、10～11　で２個
２のときは、14～19　で６個
３のときは、23～27　で５個
４のときは、32～35　で４個
５のときは、41～43　で３個
６のときは、50～51　で２個
７のときは、59～59　で１個
計算結果が８以上になる場合は、
範囲が重ならなくなるので、条件を満たす整数はもうありません。

数学が使えれば、不等式を２つ立ててもっと簡単に計算できます。
算数の範囲でも、
もっと効率のよい方法があるかもしれませんが、
この方法でもとりあえず答えにはたどり着けます。

お礼

ありがとうございます。小数は使用してよいようですので、割った余りを意識しない説明方法はないでしょうか？？よろしくお願いします。後、不等式を２つ立てる方法もおうかがいしたいのですが(^^;;よろしくお願いします。

回答No.1

shkwta

８で割って四捨五入すると１になる数は４～１１、２になる数は１２～１９、３になる数は２０～２７、…
※最初の範囲を求めておけば、あとは８ずつ増えるだけです。

９で割って四捨五入すると１になる数は５～１３、２になる数は１４～２２、３になる数は２３～３１、…
※これも、最初の範囲を求めておけば、あとは９ずつ増えるだけです。

両者の共通部分のうち２桁の数は、
１になる数は１０～１１、２になる数は１４～１９、３になる数は２３～２７、…

テクニック的な方法があるかもわかりませんが、上の方法が単純明快です。
ご質問の解答は、上の方法を「９になる数」から逆順にやっているだけでは？