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二次関数・・・分かりません・・・教えてください。

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お礼率 2% (14/474)

問題が二つあります。↓

二次関数 y=x2+ax+b のグラフが点(2,4)を通り、その頂点が直線 y=2x+1 上にあるとき、a,b の値を求めよ。

二次関数 y=x2-4x+2(1≦x≦4) において、最大値と最小値を求め、そのときのxの値も記せ。

答えとその説明をしていただけたらとても嬉しいのですが、無理でしたら答えだけでもけっこうです。
ああ、誰かお願いです。助けてください・・・。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 51% (1179/2272)

こんにちは。maruru01です。
上の問題を。

まず、二次関数が(2,4)を通るので、代入して
  4=2^2+a*2+b
整理して、
  b=-2*a    ・・・(1)
次に、二次関数の頂点の座標を求めます。頂点ではその接線の傾きが0、つまり微分して0ということなので、二次関数を微分して
  y'=2*x+a=0
したがって、
  x=-a/2
これを二次関数に代入して、
  y=(-a/2)^2+a*(-a/2)+b
   =-a^2/4+b
つまり二次関数の頂点の座標は、(-a/2,-a^2/4+b)で、これが直線上にあるので代入して、
  (-a^2/4+b)=2*(-a/2)+1
整理して、
  a^2-4*a-4*b+4=0  ・・・(2)
(1)、(2)より、aとbの連立方程式を解いて、
  a=-2(重解)
  b=4
となります。

下の問題は、
まず頂点のx座標を求めます。これは、上の問題と同じように微分で求めます。
  y'=2*x-4=0
  x=2
これが問題の範囲にはいっており、この二次関数は上に開いている(xの2乗の項が正の数)ので、この頂点が最少値になります。つまり、
  y=2^2-4*2+2
   =-2
ですね。
あとは範囲のどちらかが最大値です(実際は頂点から遠い方)ので、
  (x=1の時) 1^2-4*1+2=-1
  (x=4の時) 4^2-4*4+2=2
したがって
  最小値:-2(x=2)
  最大値:2(x=4)
になります。
では。
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  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 9% (7/73)

下の方の答えは、 MAX=2(X=2) MIN=-2(X=4) だと思います。 実際にグラフを書いてみると解りますよ。
下の方の答えは、
MAX=2(X=2)
MIN=-2(X=4)
だと思います。
実際にグラフを書いてみると解りますよ。


  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 50% (1133/2260)

【1つ目】  二次関数 y = x^2 + ax + b を変形すると,y = (x + a/2)^2 -(a^2 + 4b)/4 になります。したがって,グラフの頂点は(-a/2, -(a^2 + 4b)/4)です。この頂点が直線 y = 2x + 1 上にある事と点 (2, 4) が二次関数上にある事から,方程式が2つ出来ますね。変数が2つで式が2つですから,これを解けば a, b が求まります。 ...続きを読む
【1つ目】
 二次関数 y = x^2 + ax + b を変形すると,y = (x + a/2)^2 -(a^2 + 4b)/4 になります。したがって,グラフの頂点は(-a/2, -(a^2 + 4b)/4)です。この頂点が直線 y = 2x + 1 上にある事と点 (2, 4) が二次関数上にある事から,方程式が2つ出来ますね。変数が2つで式が2つですから,これを解けば a, b が求まります。

【2つ目】
 上と同様に,二次関数 y = x^2 -4x + 2 を変形すれば,頂点の座標が求まりますね。二次関数が最大値又は最小値になるのは,頂点か変数xの取りうる端の値(今の場合では,1≦x≦4 から X=1 または X=4 の時)においてです。後はこれらの値を求めて比べてみて下さい。


ami_mizuno さん,
> MAX=2(X=2)
> MIN=-2(X=4)
 タイプミスだと思いますが,この二次関数は点(2, 2)も点(4, -2)も通りませんよ。
  • 回答No.4
レベル6

ベストアンサー率 0% (0/5)

最初の問題 グラフが点(2,4)を通るからそのまま代入して 4=2^2+2a+b b=-2a・・・(1) 式変形をして y=(x+a/2)^2+b-a^2/4 (^は累乗の意味この場合は^2だから2乗のこと) 頂点は(-a/2,b-a^2/4)となる。 だからこれをy=2x+1に代入して b-a^2/4=2(-a/2)+1 (1)よりb=-2aを代入して式を整理すると a^2/4+ ...続きを読む
最初の問題
グラフが点(2,4)を通るからそのまま代入して
4=2^2+2a+b
b=-2a・・・(1)
式変形をして
y=(x+a/2)^2+b-a^2/4 (^は累乗の意味この場合は^2だから2乗のこと)
頂点は(-a/2,b-a^2/4)となる。
だからこれをy=2x+1に代入して
b-a^2/4=2(-a/2)+1
(1)よりb=-2aを代入して式を整理すると
a^2/4+a+1=0
両辺に4をかけると
a^2+4a+4=0
(a+2)^2=0
よってa=-2
(1)よりb=4となる。


二番目の問題
式変形すると
y=(x-2)^2-2
よって、頂点(2、-2)で下に凸のグラフだとわかる。
1≦x≦4だから頂点のx座標より一番離れているx=4のとき最大値をとり
頂点に一番近い、つまり頂点自身で最小値をとる。
したがって、x=4のとき最大値2 x=2のとき最小値-2
(この問題はグラフを書けばすぐわかります。)
  • 回答No.5
レベル9

ベストアンサー率 9% (7/73)

rei00さん、そのとおりです。 手元で、MAX=2(X=4)     MIN=-2(X=2) と書いてあるのに、タイプミスをしてしまいました。 (高校のテストで同じミスをしたような・・・) あと、a=-2、b=4でいいのでしょうか?  手でグラフを書いて、あたりを付けた値がまさにそれなんですが・・・ (それも適当なグラフで)
rei00さん、そのとおりです。
手元で、MAX=2(X=4)
    MIN=-2(X=2)
と書いてあるのに、タイプミスをしてしまいました。
(高校のテストで同じミスをしたような・・・)

あと、a=-2、b=4でいいのでしょうか? 
手でグラフを書いて、あたりを付けた値がまさにそれなんですが・・・
(それも適当なグラフで)
  • 回答No.6
レベル11

ベストアンサー率 17% (64/368)

>二次関数 y=x2-4x+2(1≦x≦4) において、最大値と最小値を求め、そのときのxの値も記せ。 答えは他の人が出しているようですから、おさらいもどきを とりあえず、下の問題の手がかりのアドバイスを・・(説明は省きました。   ・・;  ) いろいろ、最勉強の必要がありそうです。色々な観点でイメージとしてお伝えします。 二次関数はわかりますか?手始めに 1.因数分解はできますか? ...続きを読む
>二次関数 y=x2-4x+2(1≦x≦4) において、最大値と最小値を求め、そのときのxの値も記せ。

答えは他の人が出しているようですから、おさらいもどきを
とりあえず、下の問題の手がかりのアドバイスを・・(説明は省きました。   ・・;  )
いろいろ、最勉強の必要がありそうです。色々な観点でイメージとしてお伝えします。

二次関数はわかりますか?手始めに
1.因数分解はできますか?
 できると
Y=(X-a)(X-b)        -----*1
ができると思います。この場合、
右辺の左側 X-a=0(ゼロです。)と仮定すると   → X=a ですね。
右辺の右側も同じことが出来ます。
どころで、算数の問題で
C×0は幾つか?   当然 0(ゼロ)です。すると*1のしきで、
Xが a、bの時、X軸(Y=0)をとおる二次関数になります。
(Xだけでなく、2X、3Xの時も同じ考え方でOKです。)

2.
二次関数は他に
Y=a(X-a)^2+b       ------*2
の表現があると思います。   a=0ではない
この式で頂点を表しています。
頂点の座標は、 X-aの場所です。
よって、そのときのX座標の場所は X-a=0のところ、
Xが求まったら、*2の式にXの式を代入しましょう。
あと、X=aを境に左右対称になる事も学びましょう。

下の問題は、2を利用して、式を変換して、ついでにグラフを表示して、
回答するといいでしょう。
(計算はしていませんが、答えは、頂点か範囲指定のどちらかになります。
 私は厳しいので、自分で求めなさいそのほうが貴方の為です。   (笑   )
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