単振動の問題

質問

大学1年の力学でわからない問題があるので教えて下さい。

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バネ定数ｋのバネの一端を壁に固定し、他端に質量Mの
物体Ａを結び付け、滑らかな水平面上においた。さらに
質量mの物体ＢをＡに押し付け、バネを自然の長さから
Lだけ縮めて手を離した。物体の大きさ、バネの質量は
無視できるものとする。

1.物体Ｂが物体Ａから離れる点はどこか？
　その点に達する時間はいくらか？
2.1.の時の物体Ｂの速さを求めよ。
3.物体Ｂが離れた後、物体Ａはどのような運動をするか？
　運動する範囲および周期的運動の場合はその周期を記せ。
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運動方程式は (m+M)d^2x/dt^2=-kx で
d^2x/dt^2=-ω^2x
ω=√(k/(m+M))

ここまではできたのですが1～3の問題の考え方が
わかりません。（ここまでも間違っていますか？）
よろしくお願いします。

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

きちんと考えていないのでヒントだけ。
バネを離した時点では (A+B) は一体で動きます。運動方程式はお答えの通りで、解くと x = - C cos(ωt) になることは判ると思います。初期条件から C の値、それから定数項がないことは簡単に判るでしょう。
物体 B が離れるのは壁に向う加速度が ≦0 となるときですね。そのとき (A+B) がどこにあるかは判るでしょう。
それ以降はバネと物体 A だけの方程式になり、初期条件 (位置と速度) が判っているので解けます。

お礼

x(t)=Asin(ωt+α)
初期条件(t=0)より
x(0)=-L → A=-L
x'(0)=0 → α=π/2
なので
　x(t)=-Lsin(ωt+π/2)
=-Lcos(ωt)

壁に向かう加速度<=0の時に物体Ｂが離れるというのは
　-ω^2x<=0 ∴x>=0
ということでよいですか？

回答No.3

Drunk

#1さん,#2さんの繰返しになりますが、ご参考まで

#1さんへの「回答に対するお礼」のＡの運動方程式は、
　Md^2x/dt^2=-kx-F
ですね。Fを消去すれば、質問者さんの答あるいは#2さんのご指摘の通り、一体化した方程式になります。
これを解いて、F（AがBにおよぼす力）を求めると、x<0ではF>0、x>0でF<0となり、x=0でBが離れることが分かります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

とりあえず、Ａ，Ｂ別々に運動方程式を立てましょう。
エネルギー保存則を使いましょう。

お礼

ヒントありがとうございます。

別々にということは
　Ａの運動方程式　Md^2x/dt^2=-kx
　Ｂの運動方程式　md^2x/dt^2=F
で良いのでしょうか？