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標準偏差について

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お礼率 76% (156/203)

標準偏差とは、
「数列の平均と各値の差を2乗し、それらを平均したものの平方根」
ということがシスアドの教科書に書いてあったのですが、何故こうなるのかわかりません。
何故こうなるのでしょうか?
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質問者が選んだベストアンサー

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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

> 何故こうなるのでしょうか?
標準偏差の定義です.
したがって,なぜということはありません.

これけじゃ仕方がないので,意味を少し書いておきます.
標準偏差は,データ(など)が平均値からどれくらいばらついているかの
目安です.
同じく平均が 10 でも,
(1)  9,11,8,10,12

(2)  4,19,1,10,16
を比べたら,(1)の方が明らかにデータが平均値の近くにまとまっています.
こういうことを数量化しようというのが標準偏差です.

では,平均値からの差の平均をとればよいか?
各データを ai,平均値を a と書きますと,
データ数を N 個としまして
平均値からの差の平均は
(3)  {Σ(ai - a)}/N
ですが,平均値の約束から
(4)  a = (Σ ai)/N
ですから,(3)はゼロになってしまいます.
そりゃそうで,平均値より大きいデータも小さいデータもあるわけですから,
正負キャンセルしちゃいます.

そこで,2乗すれば必ず正ですから
(5)  {Σ(ai - a)^2}/N
だったらゼロにはなりません.
2乗したから,例えば a が長さだったら(5)は長さの2乗の量になります.
平方根を取れば長さにもどって,長さのデータのばらつきを表すのに
ふさわしい量になります.

上の(1)(2)のデータで標準偏差を計算してみてください.
(2)の方が大きくなっています.

正にするというなら,2乗でなくて絶対値でも良さそうですね.
でも,絶対値は扱いが面倒ですし,関数としての性質も良くないので,
2乗を使うのです
y = x^2 のグラフはなめらかですが,
y = |x| のグラフは原点で折れ曲がっていて,この点で微分不可能です.
関数としての性質が良くない,とはこういうことだと思ってください.
お礼コメント
koba_nob

お礼率 76% (156/203)

なるほど。わかりました。
非常に丁寧にありがとうございます。
私は、記憶するのが苦手で、筋道を立てないと覚えられません。そのため、覚えられず、困っていました。
これで覚えられます。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-17 20:08:56
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