体積の２等分、３等分の近似値

質問

V＝{(x,y,z); x二乗＋y二乗＋ｚ二乗≦１,z≧１}を水平に切って体積を２等分、３等分した時のｚ座標の近似値を求めよ。
おそらく、体積に関係したｚの３次方程式を出してNewton法で近似値を求めるのだと思うのですが、三次方程式の出し方がわかりません。近似値はパソコンで計算できるので方程式の導き方を教えてください。
数学が苦手なので、なるべく丁寧な解説をお願いします。

回答No.3

BLUEPIXY · ベストアンサー

>饅頭のような半球体の形をしています。
わかってますけど・まあ、いいや。

今ある点Ｚでｘ－ｙ平面で水平に切るんですよね。
それを、例えば、ハムみたいに何枚も薄く切るというようなイメージをしてみて下さい。
ｚ＝０～ｚ＝Ｚまでをｎ個にスライスします。
１個あたりの幅はΔｚ：Ｚ／ｎです。
このスライスしたものを
円柱と考えて、その体積を足し合わせることを考えます。
円柱の体積は、πｒ^2×ｈ（底面積×高さ）です。
１枚目のハムの体積は、
ｒ＝Ｒｓｉｎθで
ここで、Ｒは球の半径で１
ｓｉｎθは、ｃｏｓθ：Δｚ／Ｒに対応するθのｓｉｎです。
１＝（ｓｉｎθ）^2＋（ｃｏｓθ）^2
から
（ｓｉｎθ）^2＝１－（ｃｏｓθ）^2
で、ｃｏｓθ＝Δｚ／Ｒ＝Δｚ
なので、結局１枚目の円柱の体積は
πｒ^2×ｈ
=π（ｓｉｎθ）^2×Δｚ
=πΔｚ（１－Δｚ^2）
です。
２枚目の円柱はというと
ｃｏｓθ＝２Δｚ／Ｒ＝２Δｚ
ですから同様にして
=πΔｚ（１－（２Δｚ）^2）
です。
これらを足し合わせると
πΔｚΣ１－πΔｚ^3Σｎ^2
ですから
πΔｚｎ－πΔｚ^3｛n(n+1)(2n+1)/6｝になります。
ここで、Δｚｎ＝Ｚですから（カッコのそれぞれに掛け合わせて）
πＺ－πＺ（Ｚ＋Δｚ）（２Ｚ＋Δｚ）／６
になりますが
ココで分割するｎを大きくするとΔｚは０とみなせますから
πＺ－２πＺ^3／６
通分して
πＺ－πＺ^3／３
ということになります。
半球の体積は、２π／３ですので、
その半分π／３になるＺを見つければ良いということになります。

回答No.5

jisin74

No.2です。

記号「^」はべき乗です。
つまり、「z^2」は「zの2乗」

あと、先の回答の誤字を訂正します。
1行目：誤「減点」→正「原点」

回答No.4

at9_am

概ね＃３の方の回答でも良いと思いますが、パソコンで計算するとのことなので、それを意識して書きます。

いま、d = 1/n とします。つまり xy 平面に水平に高さが n 等分になるように切る、ということです。そうすると、断面は円になりますが、その半径は三平方の定理から
r(m) = √(1 - m*d^2)
になります。ここで m は、下から m 番目の切り取られたディスク状の物体の上の面の半径になります。
m 番目のディスクの体積 V(m) を考えると、更に縦に切ったとき、その断面は台形近似できるので
D(m) = (r(m)+r(m-1)) d /2
と書くことができますので、
V(m) = πD(m)^2
と近似的に求めることができます。
半球の体積は、2/3πになりますから、Σ[m=1,l]V(m)≒1/3π、Σ[m=1,l]V(m)≒2/9π となるように l を求めれば良いことになります。

プログラムとしては、簡単な計算とifによる判別だけで行けると思います。

回答No.2

jisin74

Vは、減点を中心とする半径1の球体ですよね。
No.1さんもご指摘ですが、z≧1は？？
まずは問題文を再確認することをお薦めします。

体積自体は、高さzでの水平断面の円について、半径をrとすればz^2+r^2=1というあたりから求められると思いますが。

補足

またすいませんがz^2+r^2=1の＾の表す意味がわからないので教えてください

回答No.1

BLUEPIXY

z≧１の時
x二乗＋y二乗＋ｚ二乗は、
ｚだけで≧１になってしまいます。

球の体積の分割なんで
回転体の積分なんかでできるんじゃないでしょうか

補足

説明不十分ですみませんが、ｚ≧０でVは饅頭のような半球体の形をしています。