この問題の違いを教えてください。

質問

１、ゴムの立方体の各面に、それぞれσ１=５MPa、σ２=１０MPa及びσ３の垂直応力が作用し、その時の体積は変化しなかった。σ３の値はいくらか。

２、ゴムの立方体の各面に、それぞれσ１=１０MPa、σ２=５MPaの垂直応力を加え、それに垂直方向のひずみを零に固定した時、その方向の応力σ３はいくらになるか。但しゴムは変形において体積変化はないとする。

とあるのですが、解いていく上でどう違うのか分かりません。
１の答が、-１５になったのですが、応力ってマイナスでもいいものなのでしょうか。
分かる方教えてください。お願いします。

回答No.2

amanon · ベストアンサー

再度回答します。
質問者さまが，過去に投稿された質問を拝見して，
どこでお悩みかをりかいしました。

2のポイントは，"但しゴムは変形において，体積変化はないとする。"
というところです。
体積変化がない→非圧縮性体
と扱ってよいことになり，ポアソン比が求まります。
（ヤング率はこの問題では不要です。）

お礼

丁寧な回答をありがとうございました。おかげさまで解くことができました。見ず知らずの方なのに丁寧に教えていただき本当に感謝しています。

回答No.3

k_riv

１．について
計算は出来た様なので解説します。
この問題は、立方体の問題です。立方体ですので１辺の長さをＬとします。σ１の方向のひずみをε1とし、σ２の方向のひずみをε２とします。σ１とσ２の値が正なので、その方向に引張力（＋）が働くとして、もし、σ３＝０とすると、立方体の体積は、
Ｖ＝（Ｌ＋ε１－νε２）（Ｌ＋ε２－νε１）（Ｌ－νε１－νε２）
です。ここで、仮に、ポアソン比による影響がほとんどないと考えると（実際には考慮する必要があるけれど、説明のために勝手に無視すると）、ν＝０なので、
Ｖ＝（Ｌ＋ε１）（Ｌ＋ε２）（Ｌ）
となって、体積が増えてしまいます。体積の変化がないという条件があるので、体積が増えるとまずいですね。残りのσ３を零でなく、圧縮方向に作用させなければ、体積の変化を零にすることが出来ません。ですから、
σ３＜０　つまり、圧縮（－）
になります。

２．ヒントを
多分、非圧縮性体の意味がわからないのでは？・・・ここでのポイントは「それに垂直方向のひずみを零に固定した時」です。
ひずみをゼロに固定するということは、σ３方向のひずみε３＝０ということを意味し、立方体問題ではなく、２次元の平面ひずみ問題になって、平面ひずみの公式が使えるという事・・・がんばって！！

お礼

丁寧な回答をありがとうございました。おかげさまで解くことができました。見ず知らずの方なのに丁寧に教えていただき本当に感謝しています。

回答No.1

amanon

ゴムを本気で考えるととてつもなく大変な問題ですが，
おそらくそういう問題ではないと思いますので回答します。
仮定として，[ゴム→等方性弾性体]とした場合で考えます。
とすると，材料力学の初歩の問題ですね。
フックの法則(一般化したもの)をみれば，
答えがわかると思います。
(1)が，体積ひずみ=0
(2)が，ε3=0
という条件を与えていることは分かりますよね。
また，応力では，マイナスもあります。
通常は，引っ張り応力をプラス，圧縮応力をマイナスで
表現します。

くわしくは，材料力学の教科書で勉強してください。

お礼

丁寧な回答をありがとうございました。おかげさまで解くことができました。見ず知らずの方なのに丁寧に教えていただき本当に感謝しています。