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lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
こんにちは lim[n→∞](1+1/n)^n=e が成り立つことは簡単に示せるのですが、 lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか？ ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。
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e=lim(1+t)^(1/t) 〔t→0〕 がｅの定義なので、（t→＋0でもt→-0でもＯＫ） -1/n=tとおきます。 n→∞のとき、ｔ→-0なので、 （与式）＝lim(1+t)^(-1/t) 〔t→-0〕 これを変形すると、 ＝lim｛(1+t)^(1/t)｝^-1 〔t→-0〕 ＝e^-1 ＝1/e 高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。
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- yumisamisiidesu
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No1です もう少し一般的には f(z):=lim(1+z/n)^n とおいて f(z+w)=f(z)f(w)も示せばいいと思います
- yumisamisiidesu
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x=lim[n→∞](1-1/n)^n とおいて ex=1 を示せないでしょうか ここで一番の要はlimと掛け算が可換になるための条件を満たすことを言わなければならないことと思います
お礼
yumisamisiidesu様 お礼が遅くなってしまい失礼いたしました。 ご回答いただきありがとうございました。 私の数学力では、ご回答いただいた内容を 理解することが出来ず、大変恥ずかしく感じております。 さらに勉強してyumisamisiidesu様のご回答を 理解できるようにしたいと思います。 ありがとうございました。
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お礼
tasu9様 お礼が遅くなってしまい失礼いたしました。 ご回答いただきありがとうございました。 私にも理解できる方法でご教示いただき、 感謝しております。 とても勉強になりました。 ありがとうございました。