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lim{n→∞}(n√n)
n√n=(1+λn) （λn>0）（λnはλ*nと言う意味ではありません） が成り立つとき、lim{n→∞}(n√n)が１に収束することを示せ。 と言う問題なんですが、かなり考えたんですが、無理でした。 ヒントには、はさみうちの原理を使えと書いてありますが、どうにもはさめません 1<1+λn は言えますが、「1+λn<」の後になんて書けば良いのかさっぱりです。 ちなみに、ヒントとは思えないんですが、もう1つヒントがあって、それは n√n=(1+λn) ⇔ n=(1+λn)^n です。 事情あってできれば、早くといてほしいです。 どうかお願いします。
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nのn乗根は通常、n^√nと表記します。 n→∞だからn＞2と考えてよい。 {1+√(2/n)}^n=1+n*√(2/n)+n{(n-1)/2}(2/n)+・・・＞n+2√n＞n だから 1+√(2/n)＞n^√n また、n＞1だからn^√n＞1 よって1＜n^√n＜1+√(2/n)・・・※ n→∞とすると1+√(2/n)→1 したがって※よりn^√n→1となる。
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＞nのn乗根は通常、n^√nと表記します。 すいません。 λn=√(2/n) とおけばいいんですね？ なるほど！ 聞けば、「よく考えたらわかる」と言えますが…あぁ。 どうもありがとうございます。 本当に感謝します。