ベッセル関数の零点とその滑らかさについて
- ベッセル関数の零点とは、J_ν(tx)=0となるxの値のことであり、その最初の正の零点をj(ν,t)で表します。
- ベッセル関数の零点は、連続であることは自明ですが、それがどれだけ滑らかな関数であるかは具体的な関数表示ができないため、調べる方法についての知見が求められています。
- 特に、ν=1/2,1,3/2,…という場合についての零点の滑らかさについての情報を探しています。
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ベッセル関数の零点
たとえばJ_{1/2}(x)=sin x/x^{1/2}ですが（定数倍は無視することにします）この最初の正の零点はπであることは直ちにわかります。そこでパラメータtを用意して、J_{1/2}(tx)の最初の零点を考えるとπ/tになるかと思います。これはtの関数とみて(0,∞)上無限階微分可能です。そこでこれを一般化してベッセル関数J_ν(tx)の最初の正の零点をj(ν,t)と表わすことにしたとき、j(ν,t)はtの関数とみたとき(0,∞)上どの程度滑らかな関数になるのか、ということを考えてみました。 直感的に連続であることは自明で、それは証明できると思うのですが、どれぐらい微分できるのか、といったことがらはベッセルの零点を具体的に関数表示できないので、それを調べる方法を思いつきません。何か方法をご存知ある方はいらっしゃいませんか。 知りたいのはν=1/2,1,3/2,…という場合についてです。一般次元でのシュレディンガー作用素の固有値問題を考えていますので。
- adinat
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νは固定してますよね？そうするとＪ_νの最初の零点が存在するとしてx_0とおくとＪ_ν(tx)の零点はx_0/tで表され、x_0はｔに依存しないので零点は滑らかとなるように思われますが質問の意味を正しく理解してないかもしれません。
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お礼
ありがとうございます。少し考える問題を勘違いしていたことに投稿後にきづいたのですが、νを固定したもとでは確かに(定数)/tで実解析的になっていますね。もう少し問題を整理したいと思います。