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1+1 とは?  数とは何か?

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お礼率 88% (198/223)

若い頃、数学の教師に1+1は何故2なのか、と質問をしたことがあります。
そのときの答えは、「何でもいいんだよ」の一言でしたが何となく納得していました。
でも、1+1が2であることは集合論から導き出された結果だと思うのですが、人間がこの1として認識する判断基準はどこからきているのか、考えているうちに判らなくなりました。
何故人は、異なるものを数として認識するのでしょうか。
何故、異なるものの足し算が出来るのでしょうか?

異なるものとは、
男1+女1=2人  大人+子供=2人 花のコップ+お皿=2つ
たぬき1+きりん1=2匹 などです
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回答 (全14件)

  • 回答No.5
レベル11

ベストアンサー率 45% (143/314)

数とは何か 哲学的な質問なので、これだという回答は難しいかもしれませんね。 1+1=2は算術のことであり、算術には数と値が存在します。 そして、数と値は違うということですね。 人は数を認識できるのは、それが独立した形状であるからです。 猫と犬だって個々が独立したものだからです。したがって種類や大きさに とらわれず、ただの物体と認識できるから足し算が可能なんですね。 では、独立していな ...続きを読む
数とは何か
哲学的な質問なので、これだという回答は難しいかもしれませんね。
1+1=2は算術のことであり、算術には数と値が存在します。
そして、数と値は違うということですね。

人は数を認識できるのは、それが独立した形状であるからです。
猫と犬だって個々が独立したものだからです。したがって種類や大きさに
とらわれず、ただの物体と認識できるから足し算が可能なんですね。

では、独立していないものとはなにか、
例えば、一つのおにぎりと一人の人間、この人がおにぎりを食べたらどうなるか、
別にどうにもなりません。一人の人間のお腹が満足するだけです。
つまり、1+1=1(人)になってしまいます。すなわち、
食後のおにぎりは人間の体内に吸収されているから、数としては
認識されなくなります。水だって同じことです。500mlのジュースを
1.5lのペットボトルに入れたらどうなるか、1.5lのジュースが一本になるだけです。
つまり1+1+1=1(本)

しかしながら、値としては足し算が可能です。おにぎりと人間でいえば
1kgのおにぎりを50kgの人間が食べれば1+50=51(kg)となるし、
ジュースだって0.5+0.5+0.5=1.5(l)ですよね。

四則計算の基本は数と値です。数とは独立したものを指すものであり
これにより式が成り立つわけではありません。式が成り立つもっとも重要な
ことは値が共通であることです。すなわち、人が何を主眼に物事を思考するかです。
独立した個体なのか、個体を無視した重量やエネルギー量なのか、って具合です。
この考え方により数値は激変します。個体で考えれば1:1なのに重量で
考えれば1:50となるように、人間も見方を変えれば1にもなるし、
50にもなるということですね。

No.1のところで水と紙の足し算があり、kokirikoさんは屁理屈なら足し算できる
とありましたが、まさにそれが人間個々の着眼点によって水と紙は足し算が
できる、できないの発想になるわけです。どちらも間違いではないんですね。
ただ、これでは意志の疎通ができない。だからこそ、共通思考が可能な値が
必要なわけです。

数と値はおもしろいですね。バケツからコップ1杯の水をくんだら、式としては
1-1=2になり、その水をまたバケツに戻せば1+1=1になる。数としては
これだけ変化するのに、トータルの水量はどんな作業をしようが、一定の
まま。入れ物に着眼すれば、作業に関係なくコップ1つとバケツ1つ。

まとめると、算術に必要なのは数ではなく数値である、そして数値ではない
演算は人の主観によるものであり不変ではない、ということです。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

回答していただきありがとう御座います。
noribou11さんのおっしゃる通りです。私の疑問も、まさにそこから生じてしまいました。観点を変えると、正しいはずの答えと異なる、別の正しい答えが導き出される、それが設問という方向性の影響で変わるのだから面白いですね。
設問によって共通思考を与え、どういった観点から見ればよいのかということをきちんと考えれば良いわけですね。
投稿日時 - 2001-09-10 16:16:46


  • 回答No.6
レベル10

ベストアンサー率 50% (52/103)

自分は数学者ではありませんが、数学は必ず定義から始まっているはずです。定義が変われば結果も変わります。結果に矛盾が出てくればその定義は捨てられます。太古からのそういった積み重ねが現在の数学です。 「1+1=2」が帰納的に導き出される事はあり得ないと思われます。「1+1=10」と定義しても問題なく数学が構築できる事は御存じでしょう。 異なるものを足す事はできません。kokirikoさんが異なるも ...続きを読む
自分は数学者ではありませんが、数学は必ず定義から始まっているはずです。定義が変われば結果も変わります。結果に矛盾が出てくればその定義は捨てられます。太古からのそういった積み重ねが現在の数学です。

「1+1=2」が帰納的に導き出される事はあり得ないと思われます。「1+1=10」と定義しても問題なく数学が構築できる事は御存じでしょう。

異なるものを足す事はできません。kokirikoさんが異なるものの足し算としてあげた例で左辺に挙げているのは右辺の単位で見た時に同じものです。
男1[人]+女1[人]=2[人]

これが1[男]+1[女]になると定義無しには計算できません。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

回答していただきありがとう御座います。
>「1+1=10」と定義しても問題なく数学が構築できる事は御存じでしょう。
そうなのですよね、それゆえに判らなくなってしまったものですから。
左辺と右辺という考え方を今までしていなかったので、新鮮なものして捉えさせていただきました。
少しこの視点で考えてみますね。
投稿日時 - 2001-09-10 16:30:21
  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 53% (22/41)

"1"というのは端的に言えば「単位」です。 つまり基準となる量を意味する概念です。 ですから、厳密に量として1である必要はないのです。 200mlの水が入ったコップ1杯あったとすると、 "ml"という単位では200でも「杯」とみなしたら1になりますよね。 また、何をその「基準」にするかは主観によるでしょう。 具体適例はこれまで回答された方々の通り ...続きを読む
"1"というのは端的に言えば「単位」です。
つまり基準となる量を意味する概念です。
ですから、厳密に量として1である必要はないのです。

200mlの水が入ったコップ1杯あったとすると、
"ml"という単位では200でも「杯」とみなしたら1になりますよね。

また、何をその「基準」にするかは主観によるでしょう。
具体適例はこれまで回答された方々の通りです。

人類という「基準」ならば、大人1人と子供1人は
それぞれ1ずつですから、合計2になりますが、
成人という「基準」からすると子供1人は対象外になり
足し合わせることができなくなります。

目的に合った「基準」による「単位」を作り、
その範疇で(整数の)四則演算を行うわけです。

このような考え方だと、テーブルの上の紙1枚と
水1リットル入り容器もそれぞれ「1」とみなせますよね。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

回答していただきありがとう御座います。
基準をどこに置くかによって決定される訳ですね。観点をどこに置くかが計算の基準となるということで考えればよいのでしょうか。
投稿日時 - 2001-09-10 16:08:11
  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 29% (74/253)

1+1がなぜ2になるかの回答ですが、10進法で数えているから というのが私なりの結論です。 10進法の世界では、  1に1を加えると2になる  2に1を加えると3になる  3に1を加えると4になる  ....  9に1を加えると桁上がりして10になる という考え方をします。 では1+1が2にならないことはあるかと言えば、実はあります。 ブール代数(2進数)の世界では1+1は ...続きを読む
1+1がなぜ2になるかの回答ですが、10進法で数えているから
というのが私なりの結論です。

10進法の世界では、
 1に1を加えると2になる
 2に1を加えると3になる
 3に1を加えると4になる
 ....
 9に1を加えると桁上がりして10になる
という考え方をします。


では1+1が2にならないことはあるかと言えば、実はあります。
ブール代数(2進数)の世界では1+1は2にならず、10になります。

ブール代数では、
 0+0 = 0
 0+1 = 1
 1+1 = 10
という感じですね。


元々、数学というのは観念の世界です。「これが1だ」という観念を定義した
ところから、数学的な思考が始まります。
何を1として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になってしまう
のではないかと、私は考えています。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

回答いただきありがとう御座います。
>何を1として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になってしまうのではないかと、私は考えています。
まさにそうなのです。そこのところを考えているうちに、訳がわからなくなってしまって。単純ゆえに難しいということなのでしょうか。
投稿日時 - 2001-09-10 16:03:32
  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 50% (1122/2211)

数学面からの回答ではないですが、 > 何故、異なるものの足し算が出来るのでしょうか? それは、異なるものである、とは思っていないから、ではないでしょうか。 ものの見方には、共通化・汎用化という面があります。 男・女 → 大人 大人・子供 → 人間 花のコップ・お皿 → 容器 たぬき・きりん → 哺乳類 場面によって、どこまで汎用化するかが変わってきます。さすがに同 ...続きを読む
数学面からの回答ではないですが、

> 何故、異なるものの足し算が出来るのでしょうか?

それは、異なるものである、とは思っていないから、ではないでしょうか。

ものの見方には、共通化・汎用化という面があります。

男・女 → 大人
大人・子供 → 人間
花のコップ・お皿 → 容器
たぬき・きりん → 哺乳類

場面によって、どこまで汎用化するかが変わってきます。さすがに同じ1でも
紙1(枚)+水1(リットル)=2 とは思わないですよね。

同じものであれば、二つを足すことに関しては、疑問が無いのですよね?
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

回答していただきありがとう御座います。
物の見方によって導き出す、集合という概念が共通化・汎用化に結びついているという意見には賛同できます。
>さすがに同じ1でも
>紙1(枚)+水1(リットル)=2 とは思わないですよね。
そうでしょうか? もし「机の上に」との説明がつけば、机上にある物としての括りになるわけですから、その場合は2になります。
ごめんなさい屁理屈みたいで、でも私が知りたいのはそこのところなのです。
投稿日時 - 2001-09-10 14:33:45
  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 27% (162/600)

1+1=2 は なぜそうなるのか・・・そう定義したから でしょうね。 山という字が目の前にそびえる大きい地形を意味するのと 同じだと思います。  異なるもの…  たとえば、猟をしていて、獲物が5体とれたとします。あくまで目的は食料とするわけですから、内訳がなんだろうと構わないわけなんじゃないですかね。  でも、動物園みたいにきちんと管理しているところだと、内訳は狸2匹に、狐3匹というように、内 ...続きを読む
1+1=2 は なぜそうなるのか・・・そう定義したから でしょうね。
山という字が目の前にそびえる大きい地形を意味するのと 同じだと思います。

 異なるもの…
 たとえば、猟をしていて、獲物が5体とれたとします。あくまで目的は食料とするわけですから、内訳がなんだろうと構わないわけなんじゃないですかね。
 でも、動物園みたいにきちんと管理しているところだと、内訳は狸2匹に、狐3匹というように、内訳の方が重要になる。

 映画だと料金体系から性別はあまり重要でなく、子供・大人ごと何人。でも、合コンなどでは、男女何人ずつ。

 要するに使用する目的により、使い分けしている…ということだと思いますが。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

回答いただきありがとう御座います。
>そう定義したから 
難しいお答えですね。このことについて少し考えてみます。
得たい結果を導き出すための設問と言う事なのでしょうか。
投稿日時 - 2001-09-10 14:46:03
  • 回答No.7
レベル11

ベストアンサー率 29% (74/253)

再コメントします。No.3では >何を1として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になって >しまう のではないかと、私は考えています。 とコメントしたのですが、No.4の意見を読んで目からウロコが落ちました。 そうです。何を1とするかは「単位」をどうするかということです。 同じ単位どうしならば、計算ができます。単位が違えば計算できません。 男1+女1という計算 ...続きを読む
再コメントします。No.3では

>何を1として認識するかの基準は、もはや数学を超え、哲学の分野になって
>しまう のではないかと、私は考えています。

とコメントしたのですが、No.4の意見を読んで目からウロコが落ちました。
そうです。何を1とするかは「単位」をどうするかということです。

同じ単位どうしならば、計算ができます。単位が違えば計算できません。


男1+女1という計算の場合、「人間」を単位で数えれば
 男1(人)+女1(人)=2(人)
と計算できますが、「男」と「女」を別単位で数えると、
 男1(1男)+女1(1女)という計算は成立しません。単位が違うからです。

大人と子供の足し算もそうですね。単位を人で数えるか、大人と子供を別単位
で数えるかで、計算できるかできないかが決まります。

そして単位をどうやって決定するかは、各人の主観ですね。
複数の人がいる場合、各人の主観ではなくてグループの主観となります。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

再びご回答いただきありがとう御座います。
単位の問題なのでしょうか? 実は私は単位というよりは集合の問題であると考えています。どのグループに属すものなのかということですね。
そのグループを1単位とすれば良い話なのですが、計数としての単位はこの場合意味をなさないのではないでしょうか? 算数の計算として考えれば重要ですが。
投稿日時 - 2001-09-10 16:25:28
  • 回答No.8
レベル10

ベストアンサー率 50% (52/103)

私も自己フォローしときます。 「異なるものを足す事はできない」の前に「一般の数学では」を追加しておきます。すぐ後に書いてあるように定義があれば異なるものでも足せます。 今回の質問の本質はあくまで「定義」に対する認識にあると思います。定義により「系」が構成され、その系の中では定義を前提に証明が許されます。矛盾のある系は定義に問題があるので定義とともに無用の物として一般には捨てられます。矛盾の ...続きを読む
私も自己フォローしときます。

「異なるものを足す事はできない」の前に「一般の数学では」を追加しておきます。すぐ後に書いてあるように定義があれば異なるものでも足せます。


今回の質問の本質はあくまで「定義」に対する認識にあると思います。定義により「系」が構成され、その系の中では定義を前提に証明が許されます。矛盾のある系は定義に問題があるので定義とともに無用の物として一般には捨てられます。矛盾の見当たらない系のうち有用と思われるものが主に生き残り研究・活用されます。
重要な事として、その系の中でその系を構成する定義を証明する事はできません。kokirikoさんの疑問では1+1=2を集合論から導き出せるのでは、としている部分がこれに相当すると考えられます。

もしかすると、非ユークリッド幾何学の発見(発明)をキーワードに調べると良いヒントになるかも知れません。「ある直線L上にない点Aを通り直線Lに平行な直線は一本しかない」という常識的な事実を証明しようと人類は一生懸命がんばってきたのですが...てなお話(もちろん事実)です。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

ふただび回答ありがとう御座います。
>定義により「系」が構成され
あっそうですね。参考になります。
>非ユークリッド幾何学の発見
ユークリッド幾何学ですか?図形の計算くらいしか思いつかないけれど・・、すみません調べてみます。
投稿日時 - 2001-09-10 18:12:47
  • 回答No.12
レベル11

ベストアンサー率 45% (143/314)

私の回答に違和感を覚える方がいらっしゃるようなので 少し説明させていただきます。 1(個)+1(人)=1(人)は確かに算術として問題があるかもしれません。 しかし、この式が日本語の拡大解釈とされると残念ですね。 それより下段の文章では1kg+50kg=51kgとあるように重量の単位で 考えれば、食べるという行為は立派な加法式になります。この考えを基に 人間の数の認識の仕方を説明しているにす ...続きを読む
私の回答に違和感を覚える方がいらっしゃるようなので
少し説明させていただきます。

1(個)+1(人)=1(人)は確かに算術として問題があるかもしれません。
しかし、この式が日本語の拡大解釈とされると残念ですね。
それより下段の文章では1kg+50kg=51kgとあるように重量の単位で
考えれば、食べるという行為は立派な加法式になります。この考えを基に
人間の数の認識の仕方を説明しているにすぎません。
つまり、単位を用いれば算術の上では立派な加法が成り立つにも関わらず、
人間は独立した物体のみの数を認識しているということを概念で表した
1+1=1(人)という式は算術として成り立たない。私は、この式が
成り立つなんて書いていないし、数だけで表した式は成り立たないと
書いているのだから問題ないと思いますが、ダメでしょうか?

まあ、議論を吹っかけたいのではなく、数の概念の面白さを説明したかった
真意がありますので、あまり、つっこまないでほしいなーっていう思いですけどね。
学問とは形式のみに捕われるものではないと思います。ただ、「定義」だ、
「単位」だ、ではつまらないじゃないですか!

もちろん、形式をねじ曲げろというわけではなく、数と値をきっちり区別し、
数という概念上の演算行為を不思議と思い、面白いと感じる。素晴らしいことだと
思いますよ。

以上、研究者のはしくれの意見でした。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

再度の回答ありがとう御座います。
>1(個)+1(人)=1(人)は確かに算術として問題があるかもしれません
わたしはまったく違和感を感じていないですよ。
男1+女1=2である場合、時間の経過によっては、男1+女1=3になっているかもしれないと考えたことがありましたから。
この場合、時間の経過という不確定要素が加わるわけですけど。
投稿日時 - 2001-09-10 18:27:51
  • 回答No.13
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

これはまさに哲学の問題です。 現実の問題を数学の問題に(あるルールで)写し、数学の規則で計算して、その答をまた(元のルールで)現実の問題に戻してやる。これが算数の文章題がやっていることですし、このルールを見つけることが重要なんですね。  力学なんかでは、普通でない数学に普通でないルールで問題を移すことによって、正しい答が出る。たとえば秒速20万キロの速度に秒速20万キロの速度を加え多場合、足し算し ...続きを読む
これはまさに哲学の問題です。
現実の問題を数学の問題に(あるルールで)写し、数学の規則で計算して、その答をまた(元のルールで)現実の問題に戻してやる。これが算数の文章題がやっていることですし、このルールを見つけることが重要なんですね。

 力学なんかでは、普通でない数学に普通でないルールで問題を移すことによって、正しい答が出る。たとえば秒速20万キロの速度に秒速20万キロの速度を加え多場合、足し算した答である秒速40万キロ(超光速)にはなりません。
水1リットルと水1リットルを混ぜると2リットルになりますが、水1リットルとアルコール1リットルを混ぜると2リットルにはなりません。
おもちがひとつあります。もうひとつおもちを持ってきてくっつけたら、おもちはやっぱりひとつ。
Aランチ1つでおなか一杯になる場合、Aランチ2つだと食べ切れません。
10歳の子供が2人集まっても選挙権はありません。

つまり、足し算が使えるのは、「足し算して答が合う場合」だけなんです。数学の方は現実の問題など知った事じゃありません。でも、「一定の性質を満たしていれば、幾つであっても答はあう」という事を保証してくれている。足し算が使えるかどうかは、問題がその一定の性質を満たしているかどうかです。
 で、足し算の場合、それはどんな性質かというと「足し算して答があうものなら」という条件。答になってない。本質的に自己撞着ですね。言い換えれば、個別に検討してみるしかない、ということです。

 「単位」はなかなか良いポイントだと思いますが、「同類のもの」を(曖昧にでも)定義して初めて意味を持ちますが、これだけで全てが説明できるわけじゃありません。むしろ副次的な概念、足し算ができる時にだけ意味をもつ概念ではないでしょうか。

 現実の問題と数学(算数)との間の対応は、だから経験的に作られるのであって、いつでもという訳にはいかないんです。
 また、対応が作れる場合、現実の問題→数学の問題 に対応付けたのと同じルールで 数学の答→現実の答 に引き戻すことが(当たり前のようですが)本質的に重要です。

 数学の中でも、たとえば 幾何学の問題→微積分の問題 という風に問題を移し、答を同じルールで引き戻すことはしょっちゅう行われます。(これが解析幾何学ですね。)そのときまず、幾何学の基礎概念と数に関する基礎概念の間に「同型」という対応が付くことを証明することが必要です。この証明が出来てしまえば、安心して 幾何学の問題→微積分の問題 ができる。
 現実の問題(物理学も含む)では、この証明は不可能で、飽くまで実験や経験から帰納された推測に過ぎません。その中で確からしいものを「法則」と呼ぶ。「エネルギー保存則」など、保存則(相互作用の前とあとで、ある値は変化しない)という形に表されるのは、まさに「足し算が成り立つ」ということを表しているんですね。そして、物理の発達につれて、嘗て盤石と思われた法則が手直しされていく。

 下記URLも類似の議論をしています。ご参照方。
お礼コメント
kokiriko

お礼率 88% (198/223)

回答していただきありがとう御座います。
正直言って、ちょっと私には難しいです。もう少し考えてみますね。
投稿日時 - 2001-09-12 20:25:47
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