漸化式から数列を求める

質問

数列｛ａn｝は、ａ1=5、ａn+1=３ａn＋２^（n+1）で定義されている。このときａnをｎの式で表しなさい。
また、Ｓｎ＝Σ（ｋ=１～n）ａｋをnを用いてあらわしなさい。

という問題に取り組んでいます。

この形はいままで解いたことがないのですが、「特性方程式」を使う方法で解けるのでしょうか？
どのように解けばいいのか教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.2

pocariblue

数列の問題を解く時のコツは、「こういうパターンだったら解けるのになぁ」という、愚痴めいた発想を持つことだと思っています。
例えば、今回の漸化式の場合、
(an+1)+f(n+1)=3{(an)+f(n)}・・・式Ａ
というパターンに式変形できれば都合が良いと思いませんか？
bn=an+f(n) と置き換えれば、式Ａは、bn+1=3(bn) という簡単な形になるので、とりあえず、数列anを求めることができますでしょう。
ですから、そういう風になるような関数f(n)を見つければ良いのです。

ヒントは、2^(n+1)=2(2^n)=(3-1)(2^n) です。
実際は、(3-1)(2^n) の(3-1)を別の数字にしないとダメです。

ヒントを頼りに、試行錯誤してみて下さい。