【漸化式と数列】

質問

数列{aｎ}は次の2つの条件(A)、（B)をみたす。

（A）aｎ>0（ｎ＝１、２、３）
（B)Σ(k=1~ｎ)ak^2＝{Σ(k=1~ｎ)ak}^2

(1)a１、a２、a3を求めよ。

(2)a(ｎ+1)^2＝a(ｎ+1)＋2Σ(k=1~ｎ)akが成り立つことを証明せよ。

(3)数列{aｎ}の一般項を求めよ。

答え
(1)a１=１、a2=2、a3=3

(3)aｎ=ｎ

証明問題もありますが…

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.10

ferien

ANo.9です。　ANo.9に書いたことは間違いです。削除して下さい。

ANo.4（２）の
＞ｎ＝ｋ（ｋ≧２）のとき
とは別に、ｎ＝１のときも仮定にしないと、証明が成り立たないのに、
そのことについて書いてなかったので、気になりました。
（やはり、帰納法を使わない方が面倒がなくていいのかもしれません。）

回答No.9

ferien

ANo.4です。（２）の以下のところ、

＞ｎ＝ｋ（ｋ≧２）のとき
も、ｋ≧１に訂正をお願いします。
（ｋ＝１のときも仮定に含めないと、証明が成り立たないので。）

回答No.8

ferien

ＡNo.4ANo.6です。ANo.7さんご指摘ありがとうございます。（３）を訂正します。

＞この式が n=0 に対して成り立つとしていいなら #6 の通りでいいし, そうでない (つまり n≧1 でな＞ければならないとする) ならダメです

＞ANo.6の（３）を訂正します。
＞a(ｎ+1)^2＝a(ｎ+1)＋2Σ(k=1~ｎ)ak　（ｎ≧１）から、
ａn^2＝ａn＋2Σ(k=1~ｎ-1)ak　（ｎ≧２）　
ａn+1^2－ａn^2＝ａn+1－ａn
　　　　　　　　　　＋２｛（ａ1＋……＋ａn-1＋ａn）－（ａ1＋……＋ａn-1）｝
（ａn+1＋ａn）（ａn+1－ａn）＝ａn+1－ａn＋２ａn＝ａn+1＋ａn
ａn+1＋ａn＞０より、両辺を割ると、
ａn+1－ａn＝１　（ｎ≧２）
ａn－ａn-1＝１
　……
ａ3－ａ2＝１
ａ2－ａ1＝１
両辺同士足すと打ち消し合うから、
ａn－ａ1＝ｎ－１，ａ1＝１だから、
ａn＝１＋（ｎ－１）＝ｎ（ｎ≧２）
ｎ＝１のとき、ａ1＝１だから、上の式を満たす。
よって、ａn＝ｎ（ｎ≧１）

＞ちなみに #4 の「微妙にアウト」は帰納法の最初を間違えてる. k≧2 でまわしてるんだから, a1 だ＞けじゃなくって a2 も押さえておく必要がある.

＞ANo.4の（３）を訂正します。
＞(3)数列{aｎ}の一般項を求めよ。
ａn+1^2＝ａn+1＋２（ａ1＋……＋ａn）（ｎ≧１）
ａ4^2＝ａ4＋２（ａ1＋ａ2＋ａ3）
＝ａ4＋２（１＋２＋３）
ａn^2－ａn－１２＝０
（ａ4－４）（ａ4＋３）ー０
ａ4＞０より、ａ4＝４
よって、ａn＝ｎ（ｎ≧１）
数学的帰納法により
ｎ＝１のとき、ａ1＝１成り立つ。
ｎ＝ｋのとき、ａk＝ｋ（ｋ≧１）が成り立つと仮定すると、……ｋ≧１に訂正
ｎ＝ｋ＋１のとき、
ａk+1^2＝ａk+1＋２（ａ1＋……＋ａk）
＝ａk+1＋２（１＋……＋ｋ）
＝ａk+1＋２・(1/2)ｋ（ｋ＋１）
ａk+1^2－ａk+1－ｋ（ｋ＋１）＝０
｛ａk+1－（ｋ＋１）｝（ａk+1＋ｋ）＝０
ａk+1＞０より、ａk+1＝ｋ＋１
よって、すべての自然数ｎについて成り立つ

まだ何かあったら、お願いします。

お礼

なるほど！
何度も訂正していただいて
ありがとうございました(><)

回答No.7

Tacosan

(3) は, 結局もとの (2) にある
a(n+1)^2＝a(n+1)＋2Σ(k=1～n)a(k)
が「どんな n に対して成り立つのか」って勝負なんです＞#6.

この式が n=0 に対して成り立つとしていいなら #6 の通りでいいし, そうでない (つまり n≧1 でなければならないとする) ならダメです (途中で使っている
ａn^2＝ａn＋2Σ(k=1~ｎ-1)ak
が n=1 で成り立つためには, (2) の式が n=0 で成り立つことにしなきゃならない).

ちなみに #4 の「微妙にアウト」は帰納法の最初を間違えてる. k≧2 でまわしてるんだから, a1 だけじゃなくって a2 も押さえておく必要がある.

回答No.6

ferien

ANo.4です。　ANo.5さんありがとうございます。

（２）は、なるほど、です。
＞(2) は
＞[Σ(k=1～n+1) a(k)]^2 = Σ(k=1～n+1) a(k)^3 = a(n+1)^3 + Σ(k=1～n) a(k)^3
＞= a(n+1)^3 + [Σ(k=1～n) a(k)]^2
＞から出てくる.
ａn+1^3＝[Σ(k=1～n+1) a(k)]^2－[Σ(k=1～n) a(k)]^2　として
両辺をａn+1で割れば出てきますね。

（３）を再回答します。
＞a(ｎ+1)^2＝a(ｎ+1)＋2Σ(k=1~ｎ)ak　から、
ａn^2＝ａn＋2Σ(k=1~ｎ-1)ak　
ａn+1^2－ａn^2＝ａn+1－ａn
　　　　　　　　　　＋２｛（ａ1＋……＋ａn-1＋ａn）－（ａ1＋……＋ａn-1）｝
（ａn+1＋ａn）（ａn+1－ａn）＝ａn+1－ａn＋２ａn＝ａn+1＋ａn
ａn+1＋ａn＞０より、両辺を割ると、
ａn+1－ａn＝１で、　ａ1＝１だから、
｛ａn｝は、初項１，公差１の等差数列だから、
ａn＝１＋（ｎ－１）・１＝ｎ
よって、ａn＝ｎ

回答No.5

Tacosan

(2) に帰納法はいらないし, (3) は微妙にアウトだ＞#4.

(3) は勝手に気付いてもらうことにして, (2) は
[Σ(k=1～n+1) a(k)]^2 = Σ(k=1～n+1) a(k)^3 = a(n+1)^3 + Σ(k=1～n) a(k)^3
= a(n+1)^3 + [Σ(k=1～n) a(k)]^2
から出てくる.

回答No.4

ferien

ANo.2です。補足について

誤：（A）aｎ>0（ｎ＝１、２、３）
＞正：（A）aｎ>0（ｎ＝１、２、３…）

誤：（B)Σ(k=1~ｎ)ak^2＝{Σ(k=1~ｎ)ak}^2
＞正：（B)Σ(k=1~ｎ)ak^3＝{Σ(k=1~ｎ)ak}^2

＞(1)a１、a２、a3を求めよ。
ａ1^3＝ａ1^2より、ａ1^2（ａ1－１）＝０，　ａ1^2＞０だから、ａ1＝１
ａ1^3＋ａ2^3＝（ａ1＋ａ2）^2より、１＋ａ2^3＝（１＋ａ1）^2を解きます。
後は同じようにできます。

＞(2)a(ｎ+1)^2＝a(ｎ+1)＋2Σ(k=1~ｎ)akが成り立つことを証明せよ。
ａ1，ａ2，ａ3でやってみます。上の式より、
ａ1^2＝ａ1より、ａ1^3＝ａ1^2　…（１）
ａ2^2＝ａ2＋２ａ1より、ａ2^3＝ａ2^2＋２ａ1ａ2　…（２）
（Ｂ）の式より、
ａ1^3＋ａ2^3＋ａ3^3＝（ａ1＋ａ2＋ａ3）^2
＝ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2＋２ａ1ａ2＋２（ａ1＋ａ2）ａ3　だから、
（１）（２）より、
ａ3^3＝（ａ1＋ａ2＋ａ3）^2－（ａ1^3＋ａ2^3）
＝ａ3^2＋２（ａ1＋ａ2）ａ3
ａ3＞０だから、ａ3^2＝ａ3＋２（ａ1＋ａ2）

この流れで、数学的帰納法で証明すると
ｎ＝１のとき、ａ1^2＝ａ1＝１で成り立つ
ｎ＝ｋ（ｋ≧２）のとき、
aｋ^2＝aｋ＋２（ａ1＋……＋ａk-1）が成り立つと仮定すると、
ａk^3＝ａk^2＋２（ａ1＋……＋ａk-1）ａk
ｎ＝ｋ＋１のとき、
（Ｂ）式より、
ａ1^3＋……＋ａk+1^3＝（ａ1＋……＋ａk+1）^2
＝ａ1^2＋……＋ａk+1^2＋２（a1ａ2＋……＋ａkａk+1）だから、仮定から、
ａk+1^3＝（ａ1＋……ａk+1）^2－（ａ1^3＋……＋ａk^3）
＝ａk+1^2＋２（ａ1＋……＋ａk）ａk+1
ａk+1＞０より、
ａk+1^2＝ａk+1＋２（ａ1＋……＋ａk）
よって、すべての自然数ｎについて成り立つ。

＞(3)数列{aｎ}の一般項を求めよ。
ａn+1^2＝ａn+1＋２（ａ1＋……＋ａn）（ｎ≧１）
ａ4^2＝ａ4＋２（ａ1＋ａ2＋ａ3）
＝ａ4＋２（１＋２＋３）
ａn^2－ａn－１２＝０
（ａ4－４）（ａ4＋３）ー０
ａ4＞０より、ａ4＝４
よって、ａn＝ｎ（ｎ≧１）
数学的帰納法により
ｎ＝１のとき、ａ1＝１成り立つ。
ｎ＝ｋのとき、ａk＝ｋ（ｋ≧２）が成り立つと仮定すると、
ｎ＝ｋ＋１のとき、
ａk+1^2＝ａk+1＋２（ａ1＋……＋ａk）
＝ａk+1＋２・(1/2)ｋ（ｋ＋１）
ａk+1^2－ａk+1－ｋ（ｋ＋１）＝０
｛ａk+1－（ｋ＋１）｝（ａk+1＋ｋ）＝０
ａk+1＞０より、ａk+1＝ｋ＋１
よって、すべての自然数ｎについて成り立つ

確認してみて下さい。

回答No.3

Tacosan

うん, (元ネタを考えれば) 左辺は当然 3乗じゃないとおかしいよね.

(1) は単純に計算するだけ.
(2) は (B) で n+1 にした式をちょろっと変形.
(3) は (2) で得られた式から漸化式を作る.

境界条件に注意は必要だがそんなに難しくもない. 特に (1) はただただ指示されたことをするだけでいいので頭すら不要.

回答No.2

ferien

＞（A）aｎ>0（ｎ＝１、２、３）
＞（B)Σ(k=1~ｎ)ak^2＝{Σ(k=1~ｎ)ak}^2
に従って、（Ｂ）をａ1，ａ2，ａ3で表してみると、
ａ1^2＝ａ1^2
ａ1^2＋ａ2^2＝（ａ１＋ａ2）^2
ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2＝（ａ1＋ａ2＋ａ3）^2
に答えを代入してみると、最初の式はいいですが、２番目と３番目の式
左辺＝１^2＋２^2＝５，右辺＝（１＋２）^2＝９
左辺＝１＋４＋３^2＝１４，右辺＝（１＋２＋３）^2＝３６
で等号が成り立ちません。

（Ａ）（Ｂ）の条件を確認して欲しいです。問題が解けません。

補足

誤：（A）aｎ>0（ｎ＝１、２、３）
正：（A）aｎ>0（ｎ＝１、２、３…）

誤：（B)Σ(k=1~ｎ)ak^2＝{Σ(k=1~ｎ)ak}^2
正：（B)Σ(k=1~ｎ)ak^3＝{Σ(k=1~ｎ)ak}^2

かなり間違えていました…
すいません!

回答No.1

Tacosan

なんかおかしい. なんでこの条件で a1=1 なんだ?