- ベストアンサー
条件付き確率の問題（順に1個ずつもとに戻さないで何個か取り出す）
条件付き確率の問題(順に1個ずつもとに戻さないで何個か取り出す） 高校教科書レベルの問題ですが、よろしくお願いします。 数研の数学Ｂの教科書の条件付き確率の問題で次のようなものがありました。 白玉7個と赤玉3個の入っている袋から、玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1) 省略 (2) 同時に５個を取り出したとき、3個が白で2個が赤である確率 (3) 順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤である確率 ＊ 以下の解答ではn個からr個を取り出したときの組み合わせをC(n,r)と表します。 【解】 (2) C(7,3)*C(3,2)/C(10,5)＝5/12 (3) 私は(2)と(3)とは実質的には同じ試行と見なし、即座に5/12と出したのですが、参考書（教科書ガイド）には次のような詳しい解がありました。 質問は、私がしたように、「(2)と(3)とは実質的には同じ試行と見なし」てもよいかどうかということです。たしかに下のようにやれば厳密で、お説ごもっともではありますが、時間の無駄（失礼！）とも思えるのですが。 【教科書ガイドの解答】 順に1個ずつ、もとに戻さないで5個取り出したとき、3個が白で、2個が赤となる場合の取りだし方は、同じものを含む順列と考えて、5!/3!2!＝10（通り）である。 その１通りについて、例えば、白白白赤赤と出るときの確率は （7/10)＊(6/9)*(5/8)*(3/7)*(2/6)＝1/24 で、これは分子の積の順序が異なるだけで10通りのすべての場合に等しく、それぞれの事象は排反である。 従って、加法定理により、(1/24)*10＝5/12 以上、よろしくお願いいたします。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- ymmasayan
- ベストアンサー率30% (2593/8599)
(２)と(３)は解き方が違うだけで結果は同じです。 ここで重要な事は １．どちらの解き方も出来る。 ２．結果が同じである事が判る。 ３．普段はためらわず(２)で解く。 と言う事だと思います。
お礼
明解な３段階でした。よくわかりました。どうもありがとうございました。
質問者様がおっしゃるように、同じような試行だと思います。 私も読んでお説ごもっともと思いました。私でも質問者様と同じ考え方をします。 ただ、問題文から（２）との違いとして、１個ずつ取り出すときの考え方として、教科書ガイドのような考え方をすることもできるということだと思います。１個ずつ取り出して・・・とは、 ＞（7/10)＊(6/9)*(5/8)*(3/7)*(2/6)＝1/24 ですから。
お礼
お礼と補足と、欄を間違えました。どうも失礼いたしました。そして、ありがとうございました。
補足
さっそくのご回答ご賛同、どうもありがとうございました。こうして孤独な部屋で勉強していますと、考えが偏ったり堂々巡りをしたりします。しかしネットでつながっていますと、名も知らぬ親切な方々の親切が身にしみます。 どうもありがとうございましました。これからもよろしくお願いいたします。
関連するQ&A
- 確率の問題です。
ある問題集の「確率」からの1問なのですが、解答を見ても腑に落ちないので質問させてください。 「赤玉が5個、白玉が7個入った箱がある。 1個ずつ取り出すとき、白玉であれば箱に戻し、赤玉であれば戻さないことにする。 4個まで取り出したとき、赤・白・赤・白の順に出る確率を求めよ。」 という問題なのですが、私の解釈は以下です。 ・1回目に赤が出る確率は5/12 ・赤は戻さないので、次に白が出る確率は7/11 ・白は箱に戻すので、次に赤が出る確率は4/11 ・赤は戻さないが白は戻す為、箱の中に7個入っているので、次に白が出る確率は7/11 よって、5/12×7/11×4/11×7/11＝…になると思ったのですが、 解答には、最後に白が出る確率を「6/11」だとして計算してありました。 白は箱に戻っているので、7個のままなんじゃないかな？と思うのですが、どうなのでしょうか？ もし6個なのならば、その理由を教えていただけませんでしょうか。 お願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率の問題
赤のカードが６枚、白のカードが４枚あり、これらの１０枚を任意に一列に並べる。このとき同色のカードの一続き（一枚のこともある）を「かたまり」とよぶことにする。（例えば、赤 赤 赤 白 白 赤 白 白 赤 赤 →赤赤赤、白白、赤、白白、赤赤、がかたまり） 「かたまり」が４個である確率を求めなさい。 この問題を私は赤のカード白のカードをそれぞれ区別していました。つまり、赤のカードは赤１、赤２、・・・、赤６があると考えていました。 しかし、解答は区別しない（たぶん）考えでした。なぜ区別しないのか、わかりません。 ちなみに解答は、 赤６枚白４枚の並べ方が、１０Ｃ６＝２１０（通り） かたまりは、（１）赤白赤白または（２）白赤白赤の二通りで、それぞれ５×３（通り） よって、（２・５・３）/２１０＝１/７ です。確かに、それぞれを区別しなければ、この解答になるのはわかります。区別しない、という発想がわかりませんでした。 教えてください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率の問題です
次のような問題があります。 赤球3個と白球4個を含む袋から2個の球を無作為に取り出し、色を確認後、袋に戻す。 次に、再度2個の球を取り出し、球の色を見るとき、次の確率を求めよ。 (a)最初の取り出しで赤が2個でて、次の取り出しで白が2個でる。 (b)取り出された球が4個とも同じ色である。 (a)の答えは、(3C２/7C2)＊（4C2/7C2）=(1/7)*(2/7)=2/49 （Cは組み合わせのC） (b)の答えは、P（赤、赤）・P(赤、赤）=(3C1/7C2）^2=1/49 P(白、白）・P(白、白）=(4C1/7C2）^2=4/49 よって、1/49 + 4/49 = 5/49 ここで質問です。 (a)で最初の取り出しで赤が2個でる確率を（3/7）^2とすると、これは何の確率を求めている ことになるのでしょうか。 (b)の答えで、P(赤、赤）およびP(白、白）の分子がそれぞれ3C1、4C1といずれも1になっている のはなぜでしょうか。 数学の得意な方、どなたがご教示下さい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 漸化式と確率の問題で・・・・
問題 箱Ａ，Ｂのそれぞれに赤玉１個白玉３個合計４個ずつ入っている。一回の試行で 箱Ａ、Ｂの箱から無造作に１個ずつ選び交換する。この試行をｎ回繰り返した後、 箱Ａに赤１個白３個入っている確率Ｐnを求めよ。 という問題がありました。 〔解答〕、 試行をn回繰り返した後→n＋１回後への箱Aの変化の様子から 漸化式をつくる。 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 疑問１ なぜ、ｎ回からｎ＋１回への状況変化なのでしょうか？ ｎ回目のときにＡに赤１白３はいっている確率なのだから、 やるとしたら、ｎ－１回目からｎ回目の情況変化だとおもうのですが・・・・ ｎ回目のときにＡに赤１白３なのにｎ＋１回めのときを考えているのはなぜでしょう？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 試行をｎ回繰り返した後の箱Ａに入っている玉は 赤１ 白３ 赤０ 白４ 赤２ 白２ の３通りでそれぞれの情況である確率をＰｎ、Ｑｎ、Rnとおく。 １回の試行で箱Aに入っている玉が (1)赤１ 白３から赤１ 白３になる確率は５/８ (2)赤０ 白４から赤１ 白３になる確率は１/２ (3)赤２ 白２から赤１ 白３になる確率は１/２ これらは排反であるので Pｎ＋１＝Ｐｎ×５/8＋Ｑｎ×１/２＋Ｒｎ×１/２ Ｐｎ＋１＝１/８Ｐｎ＋１/２ この漸化式は Ｐｎ＋１－４/７＝１/８（Ｐｎ－４/７） なのでＰｎのｎ＝０のときは１なので Ｐｎ＝４/７＋３/７（１/８）＾ｎ・・・答え ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 疑問２ なぜ、ｎ＝１の時ではなくn=0のときなんでしょうか？ 試行がおこなわれず、０回のときもあるからで、ｎ≧１ではなく n≧０からですか？ ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率の問題
確率の問題の質問です。 問 箱に赤い玉が３個と白い玉が７個入っている。玉を無造作に１個ずつ取り出していくとき、ちょうど５回目に３つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか。（解答：１／２０） テキストの解説 段階１ 赤、白あわせて１０個の玉から、赤い玉を３個取り出す組み合わせは １０Ｃ３で、１２０通り。 段階２ ちょうど５回目に赤い玉を取り出す場合の数は、４個目までに赤い玉２個、白い玉２個を並べ、５個目に赤い玉、６個目からは全て白い玉を並べることになる。よって、４Ｃ２＝６通り。 求める確率は６／１２０＝１／２０ という解説でした。 段階２で引っかかっています。４Ｃ２、この式ですと、４個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後５個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。 もう勉強しても勉強しても正しい解き方を自力で気付くということができませんし、テキストの解説を読んでも、「なんか違くないか？」「これだけでいいの？」「もっと他にも計算することがあるんじゃないの？」と頭を抱え込んでしまいます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率問題、場合の数について
以下の問題の解答部分で分からない部分があるので 分かる方いらっしゃいましたら教えて頂けないでしょうか。 ○問題 １から９までの番号札が各数字3枚ずつ計27枚ある。 札をよくかき混ぜてから2枚取り出すとき、 2枚の数字の和が5以下である確率を求めよ ○解答 二枚の数字の和が5以下である数の組は次の6通りである (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,2) (2,3) ゆえにその場合の数は2*3C2 + 4*3C1*3C1=42 よって確率は42/27C2 上の部分の「(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,2) (2,3)」の6通りであるという部分が分かりません。 場合の数であれば、確かに区別できない番号札なので、(1,2)と(2,1)は同じものとして扱うのは分かるのですが 確率の場合、全ての試行を異なるものとして扱うと習ったので、 それによると(1,2)と(2,1)は異なる試行になるのではないでしょうか？ つまり、二枚の数字の和が5以下である数の組は (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1) 以上の10通りになるというのは何が間違っているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の確率～反復試行の問題
赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている袋の中からら1個の玉を取り出し色を確認してから袋の中は戻すという試行を考える。この試行を3回行ったとき2個の玉だけが同じ色となる確率を求める。 以下の方針で合ってますか？ (1) (2) (3) 赤 赤 白 3C1*(5/12)^2*(4/12) 赤 赤 青 3C1*(5/12)^2*(3/12) 白 白 赤 3C1*(4/12)^2*(5/12) 白 白 青 3C1*(4/12)^2*(3/12) 青 青 赤 3C1*(3/12)^2*(5/12) 青 青 白 3C1*(3/12)^2*(4/12) 以上の確率を足す。 あるいは (1) (2) (3) 赤 赤 赤 (5/12)^3 白 白 白 (4/12)^3 青 青 青 (3/12)^3 赤 白 青 3!(5/12)(4/12)(3/12) 1から以上の確率の総計を引く。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 条件付確率です・・！！
『袋の中に、「赤のプラスチックの球が3個」、「赤の木製の球が8個」、「白のプラスチックの球が16個」、「白の木製の球が18個」のあわせて45個の球が入っている。このとき袋の中から球を1個取り出す試行において取り出した球が赤である事象をA、プラスチックの球である事象をBとする。もし取り出した球が赤ならばその球がプラスチックの球である確率は、赤球が11個あり、そのうち3個がプラスチックの球であるから3/11である』と教科書にあったので、「事象の条件を満たしている数を使えば条件付確率が出るのかな」と思って、『箱aにはくじが10本入っていてそのうち3本があたりくじで,箱bにはくじが5本入っていてそのうちあたりくじが2本入っている。あたりくじを引いたときそれが箱aのあたりくじである確率を求めよ。』というもんだいで答えを3/5とすると違っていました。どこがちがうのでしょうか？？ 文章が長くなってしまいましたがよろしくお願いします！！
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
> この問題の目的は、（２）と（３）が同じ答えになることを見つけさせる >ことだと思います。 上の観点は気がつきませんでした。(2)と(3)とが試行として同値かどうかを疑問に思う高校生もいると思います。これはこのような疑問に対する解答にもなっているのですね。 どうもありがとうございました。