図形問題教えてください

質問

教えてください。
三角形ＡＢＣがあります。ＡＢ上にＤ，ＢＣ上にＥ，ＣＡ上にＦを取ります。
ＤＦ＝４，ＥＦ＝６で，∠ＤＦＥは９０°，またＤＢ＝ＢＥ＝ＥＣ＝ＣＦです。
三角形ＡＢＣの面積は？

回答No.7

yacob

計算の式を全部書いていると、私のタイプ能力では徹夜になりますので、せめて、考え方と途中経過を書いてみます。 (なお、・　は、掛け算の印です。)

ΔABCの頂角を、A ,B, Cで表します。また、各辺の長さをa, b, cとします。
BD = x　として、ΔBDEとΔCEFは、それぞれ二等辺三角形です。底辺の長さは、与えられ、または、直角三角形ΔDEFの底辺ですから計算で求められます。　したがって、sin B/2, sin C/2が、を含んだ形で求められます。
直角三角形ΔDEFにおいて、∠DEF は、(B+C)/2 ですから、∠FDEは、A/2 となります。これで、sin A/2 が、x を含まずに判ります。

3角関数の倍角公式により、sin(A/2), sin(B/2), sin(C/2) から、cosA, cosB, cosC　を、x を含んだ形で、出します。倍角公式とは、　cosΘ = 1－2(sinΘ)^2　です。この段階で小生の計算結果は、
sin(A/2)=3/√13、sin(B/2)=√13/x, sin(C/2)=3/√13、cosA=－5/1, cosB=1－26/x^2, cosC=1－18/x^2 となりました。

A+B+C=180度ですから、次の関係が成り立ちます。
cosA+cosB+cosC=1+4・sin(A/2)・sin(B/2)・sin(C/2)
この公式は、幾何の本に出ていると思いますが、証明が必要ならば、補足します。
この式の両辺に、上記の値を入れることにより、x^2が得られます。x^2 は、130となりました。

後は、このx^2を使って、cosA, cosB , cosC　さらに、 slnA, sinB, sinC を計算します。
ΔABCにおいて、
　　b・sinC = c・sinB, および、 a = b・cosC + c・cosB　が成り立ちます。
a = 2x =2√130=22.8ですから、これにより、b=14.9, c=12.6　となりました。

よって、ΔABCの面積は、ΔABC = 1/2(b・c・sinA)　により、86.3　となりました。

すでに出ている答えと違いますが、計算間違いがあるかも知れず、検算してください。

お礼

回答いただきありがとうございます。
yacobさんの方法、もう少し勉強してみます。
（なかなか頭がついていかなくて）
この度は、たくさんの方々に回答いただき驚きとともに
恐縮しております。
　みなさん本当にありがとうございました。