図形の問題です。

質問

友人から出された問題で、中学の数学でできるというのですが、いろいろ補助線を引いてみてもさっぱり糸口が見えてきません。教えてください。

△ABCの辺BC上にBD=3となる点Dをとると、AD=5となった。
また、辺BC上に各BAE＝45°となる点Eをとると、DE:EC=1:6 , AB:BE=7:5となった。
このとき△ABEは鋭角三角形である。△ABCの面積を求めよ。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

点Dから辺ABに下ろした垂線の足をF
点Eから辺ABに下ろした垂線の足をGとする。

三平方の定理と、△ABEは鋭角三角形であることから、△BEGの辺の比は、
BE：EG：GB＝5：4：3

△BEG∽△BDF　より、BD：DF：FB＝5：4：3
BD=3なので、DF=12/5、FB=9/5
AF=√(25^2-12^2)/5
BC=BE+DE×6=BD+(BE-BD)×7=BE×7-BD×6=(AF+FB)×5-BD×6=AF×5-9

△ABC=△ABD×(BC/BD)
=((AF+FB)×FD/2)×(BC/BD)
=(AF+9/5)×(12/5)/2×(AF×5-9)/3
=2(AF^2-81/25)
=2{(25^2-12^2)/25-81/25}
=32

お礼

なるほど、∠BAE=45°だから△BEGが3辺比5：4：3になるとは全然思いつきませんでした。
基準の異なる比の扱い方も良く分かりました。
ありがとうございました。

回答No.1

Quattro99

一応、32となったのですが、美しくない計算でした。他によい方法があるのかも知れません。

BAE＝45°、AB:BE=7:5、△ABEは鋭角三角形から、AB:BE:AE=7:5:4√2（三平方の定理から）。
AからBCに下ろした垂線の足をHとすると、AB:BE：BH：AH=7:5:21/5:28/5=35:25:21:28（三平方の定理から）。
△ABHの3辺の比とBD=3、AD=5から、点Dは点Bと点Hの間にあることがわかります。
DH=x、BE=25yと置くと△ABCの面積は(1/2)BC*AH=(1/2){3+6*(21y-3)}*28y=2450y^2-252y。
△ADHについての三平方の定理とBH=21y=3+xからxを消去すると1225y^2-126y=16が求まるので、求める面積は32。

ややこしすぎてどこか間違えているかも知れません。

お礼

ありがとうございました。
△ABCの面積の式は(1/2){3+7*(25y-3)}*28yだと思いますが、
式の扱い方は、とても勉強になりました。