オイラーの定数

質問

連分数展開で第2近似までとると
　√2= 1+1/(2+1/(2+…≒1+4/5
　√3= 1+1/(1+1/(2+…≒1+2/3
一方
　e≒1+ 1/1! +1/2! + 1/3!
とすると
　e ≒ 1+√3
またライプニッツの級数
　π=1-1/3+1/5-1/7+
で右辺第3項まで取ると
　π≒√2+√3
が分かります。ところで、1/√3とオイラーの定数はかなり近い（誤差約0.02％）のですが、これは偶然でしょうか

回答No.2

siegmund

オイラーの定数γにいくらでも近い数はあるわけですから，
偶然といえば偶然かも知れませんが，
それで済ましてしまってはちょっとつまらない気がしますし，
grothendieck さんのご質問の趣旨に合わないでしょう．

grothendieck さんのご質問の意図は以下のようなことだと思います．
数学で最も基本的な定数である e とπ(共に超越数)は
一番簡単な方の代数的無理数 √2 ，√3 と
e ≒ 1+√3
π≒√2+√3
という関係にある．
なかなか面白い．これは果たして偶然なのか？
偶然と言えば偶然だが，√2 や √3 の連分数展開と e やπの級数表現を比べてみると，
最初の数項は一致している．
証明とか何とか言うほどのことではないが，
値が近い理由はなるほどと思わせるところがある．
ところで，オイラーの定数γ=0.57721566490... は 1/√3 = 0.577350269...
とかなり近い．
何かγ(あるいは 1/γ)の級数表現があって，
それの最初の数項をとると，上の e やπのときとと同じような事情に
なっているのではないだろうか．

オイラーのγの最も基本的定義は
γ = lim{n→∞} {Σ[k=1 → n](1/k) - log n}
ですが，直接これではちょっとうまく行きそうもありません．

http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html
を見ますと，いろいろなγに関係した表現が載っています．
岩波数学公式集にも級数や積分であちこちγが出てきます．
ガンマ関数やポリガンマ関数でもよくお目にかかります．
ここらへんが何かヒントにならないでしょうか．

例えばπのときにライプニッツの級数を使うから
π≒√2+√3 がなるほどと思えるのですが，
他のπに関係した級数を使うとそれが見えない(かもしれない)のが
weak point と思うのですが，いかがでしょうか．
なにせ数値級数なもので，関数項級数みたいに x^n まで一致，というような評価ができないのがつらいところです．

お礼

ご回答ありがとうございます。http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstantApproximations.html
によればOdenaが
　(0.11111…)^(1/4) = 0.577350…
を与えたとあり、これは1/√3と同じなので、残念ながら私がこれの最初の発見者というわけではないようです。しかしlim{n→∞} {Σ[k=1 → n](1/k) - log n}をn=1000まで計算しても0.57771ぐらいにしかならず、1/√3の方が真値に近くなっています。オイラーの定数を平方根の組み合わせで表せれば無理数かどうかや超越性の判定にも役立つかもしれないと思うのですがいかがでしょうか。

回答No.1

springside

何をされたいのかよく判りませんが、e、πがともに超越数であることも考え合わせれば、単なる偶然以外の何者でもないと考えます。

「0.02%だからかなり近い」と感じるか否かは、人の感覚的・感情的なものなので、数学の論理の中に入り込む余地はないと思いますが。

お礼

ご回答ありがとうございます。ところでeと
　1+ 1/1! + 1/2! + …+1/n!
はｎが大きいとき近いのですが、これは偶然でしょうか。springsideさんの論理だとeは超越数で上の和は有理数だから近いのは偶然だということになります。ましてオイラーの定数は無理数かどうかも分かっていません。いくら近くてもそれだけでは証明にはなりませんが、何らかの関係を示唆することはあると思います。