円順列の考え方

質問

(1)両親と４人の子供の計６人が円形に並ぶとき、並び方の場合の数を求めよ。
(2)色の異なる６個の玉でブレスレットを作るとき、何通りできるか。

(2)を解く時、円形に並べるときは裏返すと同じ相手が存在するから、普通の
円順列の半分にするそうですが、(1)の場合は半分にしませんよね？

この違いは何なのでしょうか。
(1)だって裏返するように並べたら、ブレスレットを作るときと同じような事
が考えられるのではなはないかと思ったのですが。

よろしくお願いします。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

(2)は、ブレスレットってところがポイントですね！
６個の玉を円形に並べるだけなら、(1)と変わりありませんね。
ところが、並べた後で誰かが、それを裏返したとします。
(1)は、裏返ったことが一目で分りますよね。
でも(2)は、裏返したかどうか分らないですよね。
だから、裏返しても区別できないものを２回数えていることになります。

補足

ありがとうございます。
＞(1)は、裏返ったことが一目で分りますよね。
頭と足が逆になるからということでしょうか？

例えば、ブレスレットの場合でも、円の右側にあったある色の玉が裏返すと
円の左側に移ったことで裏返したとわかるのではないかと思ったのですが・・・

あと、右側にいた子供が左側に移ったのと、ブレスレットを裏返しにして
右側にあった玉が左側に移ったのとが全く異なるという点が理解できず、
(1)の場合、２で割ってはいけないという理由がハッキリしてません。
よろしくお願いします。

回答No.5

tarame

#2で回答した者です

＞頭と足が逆になるからということでしょうか？
「その通りです。」

＞ブレスレットの場合でも、円の右側にあったある色の玉が裏返すと、円の左側に移ったことで裏返したとわかるのではないかと思ったのですが・・

「それでは、こんな風に考えましょうか！」
(2)のブレスレットを、(1)と同じように並べてすべて作ったとします。
全部で(6－1)!＝120個できますよね。
そのうちの１個を裏返したとします。
裏返してもブレスレットには変わりないので、
それは、他の119個のどれかと同じものとなるはずです。
つまり、120個の中には裏返したことで、同じものになるものが２個ずつあることになります。

お礼

＞2)のブレスレットを、(1)と同じように並べてすべて作ったとします。
全部で(6－1)!＝120個できますよね。
そのうちの１個を裏返したとします。
裏返してもブレスレットには変わりないので、
それは、他の119個のどれかと同じものとなるはずです

なんとなく、想像できるようになってきました。
もう一度問題に当たってみて、考えてみます。

ありがとうございました。

回答No.4

ency

次の [a]、[b] 2つの円順列は別物です。

[a] 右回りに(1)(2)(3)(4)(5)(6)と並んでいる円順列
[b] 左回りに(1)(2)(3)(4)(5)(6)と並んでいる円順列

円順列を見る場合、常に一方向に回ってみなければいけません。

たとえば、右回りで見ようとした場合(1)をスタートとした場合

[a] は (1)(2)(3)(4)(5)(6)
[b] は (1)(6)(5)(4)(3)(2)

となるため、順列として一致しませんよね？

このように「円順列」では裏返しは別物として数えます。

で、ブレスレットですが、これは上記説明からすると「円順列」ではありません。
なぜなら「ブレスレットでは裏表は考えない」からです。
# 実際のブレスレットには裏表が存在するものもあるでしょうけど
# 数学の問題と言うことで、ご納得ください。

この裏表を考えないブレスレットは、「裏返しは同じ物」として考えるんです。
別の言い方をすれば、右回りの順列と左回りの順列が一致している場合を「同じ物」と考えるんです。
上の例でいうと

[a] は右回りに (1)(2)(3)(4)(5)(6)
[b] は左回りに (1)(2)(3)(4)(5)(6)

となるので、順列として一致します。
すなわち、同じ物となるのです。

こんな説明で、いかがでしょうか？

お礼

もう一度紙に書いて考えてみたいと思います。
少しずつわかるようになってきました。

ありがとうございました。

回答No.3

marchmarch

間違っていたりするかもしれませんが・・・

円順列というのは、どれか（誰か）を基準にして、その他のものの順番を決めていき、何通りあるかを考えるように、公式もなっています。（個数ー１）！ですよね。

人であれば、その人を基準に右手には誰、左手には誰と決まります。ここで、左右を逆にすると、その人からすれば右手にいる人と左手にいる人が変わってしまいます。なので、２で割れません。

ところが、玉のブレスレットの場合、表裏の区別がつきませんよね？例えば黒・赤・青・黄・緑・紫と並べたとして、印をつけない限り、黒・紫・緑・黄・青・赤と並べていても、表か裏かわからないんですから、同じものです。だから、２で割れます。

この説明だと駄目ですか？

お礼

＞玉のブレスレットの場合、表裏の区別がつきませんよね？例えば黒・赤・青・黄・緑・紫と並べたとして、印をつけない限り、黒・紫・緑・黄・青・赤と並べていても、表か裏かわからないんですから、同じものです。だから、２で割れます。

なるほどです。だんだんイメージができるようになってきました。

ありがとうございました。

回答No.1

grasshopper59

実際問題として、人が座っている机を裏返すとどうなりますかね？
頭でたってることになっちゃいます(笑)
冗談は置いておいて。

方向の問題ですね。
たとえばお母さんの右隣にはお父さん、その右隣に年の上の子から並ぶとします。
また、お母さんに左隣にお父さん、その左隣に年の上の子から並ぶとします。
この並びが(２)で同じとみなされて半分にするわけですが・・・
人には上下が決まっているので、右と左が決まっています。
すると、お母さんから見ると右にいる人と左にいる人が違いますよね？
なのでこれらは違う並び方として考えるわけです。
ブレスレットだったら上下が決まっていない、つまりある色からの右左が決まってないということになるので裏返す事ができるのです。

補足

ありがとうございます。
ブレスレットをひっくり返すと、右側にある色の玉が、左側にあるようになる
のと、右側にいた子供が、左側に移ったということは同じような現象とは
考えられない理由はなんでしょうか？この違いがわかってません。両方とも
同じに思えるんです(; ;)