円と首飾りの順列

質問

白玉6個 赤玉3個 計9個の玉がる
(1)これら9個の玉を円形にして並べる方法は全部で何通りか
(2)これら9個の玉に糸を通して首飾りにすり方法は何通りか

(1)で、赤玉を1個固定して8個の枠に白玉6個と赤玉2個を並べる順列と考えて、8！÷6！÷2！としたのですが答えの10通りと合いません 何故でしょうか
また(2)は円と首飾りでは何が違うのでしょうか 答えは7通りです

回答お願いします

回答No.6

151A48 · ベストアンサー

♯２です。
大体そのように理解して頂いてよいと思います。

「２度数え」という言い方が悪かったのかも知れません。すみません。
「２度数え」で表現したかったのは、
円順列の異なる２つが首飾りでは１つとみなされる
ということです。
対称軸のあるものは、円順列の１つが、首飾りの１つに対応しています。
表現に不備なところもあるかと存じますが、意を汲んでご理解下さい。

お礼

私の理解力が原因だと思います すみません
ようやく分かりました 今までありがとうございました

回答No.5

151A48

♯２です。
首飾り順列（じゅず順列）の意味は既知として回答したのですが、その意味が分からないということでしょうか。
簡単な例で、
１　２　３　４　５　６　　と　１　６　５　４　３　２　を丸くすると、円順列としては別のものですが、裏返すと他方になるので同じものとみなすという前提なのが首飾り順列です。裏返すと他方になるものが２個ずつペアになっているので、首飾り順列では、円順列の数を２で割ります。これはすべて異なるものの場合です。

ところが、本問では
r w w r w r w w w と　r w w w r w r w w は丸くして裏返すと他方になりペアができますが、
r w w r w w r w w 　のように裏返すと自分自身になりペアをつくらないものが出てくるのです。こういうものが４個ある（理由は最初に説明しました）。円順列の１０個からこの４つを除いた６こはペアを作っているので２でわります。これに除いた４つ分をたします。

お礼

(10-4)÷2+4=7の
10は円順列全体
4はペアを作っていないもの
÷2はペアを作っているから被りをなくすためのもの
-4はペアを作っていないものを最初に引いたから付け足し

{ (9!/6!3!)-(3!/2!1!)}÷9 +(3!/2!1!)÷3 =10の
9!/6!3!は被りを含んだ円順列全体
-3!/2!1!は全体から3通りしか被っていないから9通り被ってるものを÷9するために引いた
÷9は9通りの被りを1つに直した
+3!/2!1!÷3は被りを含む円順列全体から3通り被ってるものを1つに直した

という認識で良いですよね？
何度もの質問に答えて頂きありがとうございました

補足

すみません まだ質問があります
対称軸のある円順列は首飾りとして２度数えしていない
とはどういうことですか？どちらかと言うと対象軸のある、対象的な円が二通り分被ってるのでは？

回答No.4

151A48

♯２です。
文中で説明したつもりなのですが・・・。返って混乱するかもしれませんが、念のため補足します。

円順列はかきにくいので、１直線にして、右端の文字を左端に押し込み、押し込まれたものは順に１うづつ右に移動することで円の回転をあらわします。
9!/6!3! の中にはwを白玉、rを赤玉として

w w r w r w w w r
r w w r w r w w w
w r w w r w r w w
w w r w w r w r w
w w w r w w r w r
r w w w r w w r w
w r w w w r w w r
r w r w w w r w w
w r w r w w w r w
のように円順列として同じものが９個のものと

w w r w w r w w r
r w w r w w r w w
w r w w r w w r w
のように円順列として同じものが３個のもの

の２種類あることに気づいていただければ分かると思います。１直線の順列を円順列にするときの重複度が違うよ、と言っているのですが・・・。
上のBはｗ２、ｒ１を並べる順列3!/2!1! の内の１つw w r でできるw w r w w r w w r を回転したもの。
これはw r w でやっても、r w w でやっても同じ円順列しかできず、このケースは実質１個ということです。

お礼

{ (9!/6131)-(3!/2!1!)}÷9 +(3!/2!1!)÷3 =10の
(3!/2!1!)÷3の部分は分かりました
9!/6131は9!/6!3!の間違いだとして
{ (9!/6!3!)-(3!/2!1!)}÷9 はなんでしょうか？また(10-4)÷2+4=7もわかりません

よろしければ教えてください

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

#1さんのように効率よく数え上げるのが、わかりやすいと思います。
計算だけで求めるのは、逆に難しいかと。

そして、
＞回転したら同じになるから赤玉を固定したのですがダメだったでしょうか？

についてですが、
「回転したら同じ」というよりも「同じ色が複数あるから」というのがその理由です。

通常、円順列と言われている数え方は、「それぞれが区別できる」場合です。
それぞれが区別できないので、数え方も変わってきます。

過去にあった同様の問題のURLをつけておきます。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7273967.html

お礼

回答ありがとうございます
回転したら同じだからではなく同じ色が複数あるからですね 分かりました

回答No.2

151A48

白６、赤３を１列に並べる順列は　9!/6!3!
通常の場合は、円順列にまるめると９ずつ同じものがありますから÷９とすればよいのですが、この問題のように白２、赤１の組が３つできるときは単純に９でわれないのです。白白赤が同じ順に３回くりかえすときは３つずつしか同じものがありませんから、これは３でわることになります。
よって　
{ (9!/6131)-(3!/2!1!)}÷9 +(3!/2!1!)÷3 =10
です。
首飾りにするときは、通常は円順列の数を２で割ればよいのですが、対称軸のある円順列は首飾りとして２度数えしていないので、これを除いて２で割り、あとで足すことになります。
対称軸のあるのは、赤１個を固定し左右に赤１、白３が対称に並ぶ場合で４通り。
よって
(10-4)÷2+4=7
です。

お礼

回答ありがとうございます
9!/6131
3!/2!1!
÷9
3!/2!1!
はそれぞれどこから来たのでしょうか
また÷2+4=7
という部分もなぜこうなったのでしょうか

できれば回答をお願いします

回答No.1

DJ-Potato

円順列では、回したら同じになるのです。
‐●○○○○○○●●‐と
‐●●○○○○○○●‐と
‐●●●○○○○○○‐と
は同じになるのです。

赤が３つ並ぶパターンは
‐●●●○○○○○○‐の１通り

赤が２つと１つになるパターンは、赤２つの所を起点として
(‐●●○‐)　‐●○‐　‐○‐　‐○‐　‐○‐　‐○‐
の５つの順列、5!÷4!の５通りです。

赤がバラバラのパターンは、これがまた重複がないようにするのが難しいのですが
‐●○●○●○○○○‐と
‐●○●○○●○○○‐と
‐●○●○○○●○○‐と
‐●○○●○○●○○‐の４通りになります。
９番目に●が来ると、９‐１と続くので上の赤が２つのパターンに重複して
８番目に●が来ると、８‐１を１‐３と読み替えることができます。

あと、首飾りは持ち上げられるので、裏返しても同じになります。
赤２つが続くパターンで２組、赤がバラバラのパターンで１組の重複が生じるので、３通り減って７通りです。

お礼

回転したら同じになるから赤玉を固定したのですがダメだったでしょうか？
首飾りは裏返せるから被る物があるということですね
回答ありがとうございました