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なぜアキレスはカメに追いつけるのか

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お礼率 35% (246/697)

カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。


という昔からよくある話ですが、これについて数学に弱い人を含む多くの人を納得させられるような説明はできるのでしょうか。
Web上で見た説明は難しい物ばかりで数学に弱い私には良く分かりません。
できるなら小学生でも分かるような説明をどなたかお願いします。
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回答 (全14件)

  • 回答No.5
レベル13

ベストアンサー率 23% (256/1092)

kokirikoさんの紹介ページで論点がわかりました。 要するに、まずカメが1000メートル先を行っているとします。 アキレスが1000メートル地点に来た時、カメがアキレスの半分の速さであったとして、アキレスの500メートル前にいることになります。 で、アキレスがさらに500メートル先に進むと、カメはその250メートル前にいる、ということですね。 うーむ。 つまり、この問題がおかしいのは、速 ...続きを読む
kokirikoさんの紹介ページで論点がわかりました。
要するに、まずカメが1000メートル先を行っているとします。
アキレスが1000メートル地点に来た時、カメがアキレスの半分の速さであったとして、アキレスの500メートル前にいることになります。
で、アキレスがさらに500メートル先に進むと、カメはその250メートル前にいる、ということですね。

うーむ。
つまり、この問題がおかしいのは、速さは一定で計算していますが、時間を無視しているように感じるのです。
もちろん、時間が速さのために重要な役割を果たしているのはわかるのですが。

まずですね、1000メートルにアキレスが3分かかるとしましょう。
500メートル動くのには1分半。
250メートル動くのには45秒。
あれれ、どんどん時間が半分になっているのです。
つまり、時間が0に限り無く近付いているのです。
一方、足される距離はどうでしょう。
(1/2)+(1/4)+(1/8)+…=限り無く1に近付くだけ
という決まりがありますね。
つまり、このやり方では、アキレスが6分走った時の記録は、限りなく近い数値しか出てきません。
だから、アキレスが6分以上経ってカメを抜かすかどうかはわからない。

この問題では、アキレスはカメとの間にある無限の点を通らなくてはならないので追いこせないと言いますが、そんなことはない。
なぜなら、カメだって、アキレスに追われつつ真っすぐ無限の点を通ることになるのですから。

これでどうでしょう?
え、わかりにくいですか?
じゃあカメの側から見てみるっていう手があります。
カメの速さがアキレスの半分だったとします。(話と計算をわかりやすくするため)
今、1000メートル離れています。
カメが500メートル進むと、アキレスはカメから見て後ろ500メートルの位置にいます。
カメがさらに250メートル進むと、アキレスは後方……0メートル? おや、並んでいます。
こういうことなんですよ。
カメがさらに125メートル進むと、アキレスは後方マイナス250メートル、ってことは前方250メートル。
抜かされちゃうってことですよ。現実は。

これでどうかなぁ。
  • 回答No.6

僕もこの手の「パラドックス」に興味を持った事があり、中学の時にこの 「アキレスとカメ」を友人から教わりました。 当時、僕も友人も頭をひねり、色々と証明を考えましたが。 一番、明確で理解しやすい説明方法は・・・・ 『論より証拠』って御存知??←失礼。m(__)m 実際にカメを追い抜いてみました。(笑)(当時14歳) 夜市で入手した「銭亀」と実際に競争しましたが、楽勝で追い抜け ...続きを読む
僕もこの手の「パラドックス」に興味を持った事があり、中学の時にこの
「アキレスとカメ」を友人から教わりました。

当時、僕も友人も頭をひねり、色々と証明を考えましたが。

一番、明確で理解しやすい説明方法は・・・・

『論より証拠』って御存知??←失礼。m(__)m

実際にカメを追い抜いてみました。(笑)(当時14歳)

夜市で入手した「銭亀」と実際に競争しましたが、楽勝で追い抜けます。(当然ですが)

で、結局「『さっきカメのいた場所に今着いた!』って立ち止まるヤツはいない。」
って言うのが中学生の結論でしたね。(実にシンプル)

余談:
似た話に「壁に矢はいつまで経っても刺さらない」ってのもありましたね。。(^^ゞ
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 38% (116/304)

小学生にわかるかどうか疑問ですが・・・ たぶん、この論理は正しくて、確かに「アキレスは亀においつかない」のでしょう。 でも、それは立場(見方)が違うからです。 「追いつく」「追いつかない」なので2つのことを考えなければなりません。それは「時間」と「距離」です。 「追いつく」というからには、「同じ時間に同じ場所にいる」事が前提です。つまり、「同じ時間に片方のスタート地点からの距離が、両者で同 ...続きを読む
小学生にわかるかどうか疑問ですが・・・

たぶん、この論理は正しくて、確かに「アキレスは亀においつかない」のでしょう。
でも、それは立場(見方)が違うからです。

「追いつく」「追いつかない」なので2つのことを考えなければなりません。それは「時間」と「距離」です。
「追いつく」というからには、「同じ時間に同じ場所にいる」事が前提です。つまり、「同じ時間に片方のスタート地点からの距離が、両者で同じ」と言うことです。

さて、この問題の場合、前半は距離について話しています。「アキレスがさっきの亀に位置まで進むと、亀は先に進んでいる」は距離の話です。
確かに距離のことだけを考えれば、絶対に追いつきません。
しかし、「アキレスがさっきの亀の位置まで進む時間」はどうでしょう?こっちもどんどん短くなっていきますよね。アキレスと亀の距離が近づけば近づくほど、「アキレスがさっき亀がいた位置に到着する時間」も短くなりますよね。いつかは0秒と思えるほど短い時間になります(小学生に極限は使えませんよね・・・)。問題のような条件でアキレスと亀が競争している時間は何秒ぐらいでしょうか?
簡単に「亀はアキレスの10m前からスタートする。亀は1秒間に5mすすみ、アキレスは1秒間に10m進む」としましょう。
スタートして1秒後には、アキレスは亀のスタート位置にいます。そして亀は5m先に進んでいます。
次にアキレスが亀の位置に到着するのは0.5秒後です。亀は0.25m進んでします。
そして・・・アキレスは、いつまで経っても亀に追いつきません。なぜなら競争時間が2秒に到達しないからです
つまり、「スタートしてからの経過時間に限度を設けている」のです。それもよく考えないとわからないように混乱させながら。
いくらアキレスが早くても、「亀に追いつかない様に時間設定された条件」が、暗黙の内に課せられているのですから、アキレスが亀に追いつかないのは当然です。

またこの問題は、最後でいきなり「いつまでたっても」という時間を意味する言葉を使うことで、いかにも「時間の流れがいつでも同じようである」かの錯覚を与えています。
数学的だけでなく、心理的にも上手に作られてますよね。

こんな説明でよろしいでしょうか?
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 33% (34/103)

要するに話がどんどんスローモーション化してるから追いつけないように見えると言う事でしょう。
要するに話がどんどんスローモーション化してるから追いつけないように見えると言う事でしょう。
  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 22% (121/535)

小学生にもわかる「アキレスとカメ」の話のページです。 でもこの話、屁理屈以外の何者でもないと思うのですが・・・ ...続きを読む
小学生にもわかる「アキレスとカメ」の話のページです。

でもこの話、屁理屈以外の何者でもないと思うのですが・・・
  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 57% (269/468)

グラフを書いたらどうでしょう。 X軸に時間、Y軸に距離をとると傾きが速さになります。 カメは原点からある一定の速さ(傾き)で走り(歩き)ます。 少し遅れて(時間Tだけ遅れてX軸(T、0)から出発)アキレスがカメよりも速く(カメより大きな傾きで)走ります。 二つの線は、かならずどこかで交わります。そこがアキレスがカメに追いつく場所(時間と距離)です。
グラフを書いたらどうでしょう。
X軸に時間、Y軸に距離をとると傾きが速さになります。
カメは原点からある一定の速さ(傾き)で走り(歩き)ます。
少し遅れて(時間Tだけ遅れてX軸(T、0)から出発)アキレスがカメよりも速く(カメより大きな傾きで)走ります。
二つの線は、かならずどこかで交わります。そこがアキレスがカメに追いつく場所(時間と距離)です。
  • 回答No.7
レベル11

ベストアンサー率 38% (116/304)

#4で書き忘れました。本題「なぜアキレスは亀に追いつけるか?」について説明していませんでした。 アキレスが亀に追いつくためには、「競争時間の制約」を取り外すことが必要です。 つまり、「競争時間を、アキレスが亀に追いつく直前までに制限する」という、元の問題に勝手に付けられた暗黙の制約を取り外し、「競争中の時間の流れを一定とし、かつ制限を設けない」という、実生活上、非常に当たり前な条件にすれば良いので ...続きを読む
#4で書き忘れました。本題「なぜアキレスは亀に追いつけるか?」について説明していませんでした。

アキレスが亀に追いつくためには、「競争時間の制約」を取り外すことが必要です。
つまり、「競争時間を、アキレスが亀に追いつく直前までに制限する」という、元の問題に勝手に付けられた暗黙の制約を取り外し、「競争中の時間の流れを一定とし、かつ制限を設けない」という、実生活上、非常に当たり前な条件にすれば良いのです。

ふたたび、亀はアキレスの10m前にいて、アキレスは10m/秒、亀は5m/秒の速度とします。
スタートして1秒後にアキレスは亀のスタート位置にいて、亀は5m先に進んでいます。ここまでは何も変わりません。
次の1秒後には、合計で2秒間走っていることになり、アキレスは「10m/秒 X 2秒=合計20m」進み、亀は「ハンデ10m+5m/秒 X 2秒=合計20m」進んでおり、これでアキレスは亀に追いつきます。
一度追いつけばアキレスの方が早いのですから、2秒をちょっとでも過ぎれば、アキレスの方が亀の前にいます。
もちろん、3秒目にはアキレスは亀の5m前にいます。

こんな感じでどうでしょうか?
  • 回答No.8
レベル11

ベストアンサー率 38% (130/334)

あくまで小学生向けということで書きます。 まず、アキレスがカメにあと10cmまでせまったところ を想像してもらいましょう。 そこでアキレスが次の1歩を踏み出すと... カメをまたぎ越してしまいましたとさ。
あくまで小学生向けということで書きます。

まず、アキレスがカメにあと10cmまでせまったところ
を想像してもらいましょう。

そこでアキレスが次の1歩を踏み出すと...
カメをまたぎ越してしまいましたとさ。
  • 回答No.12
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

>「カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。」 > >のうちどこが間違っているのでしょうか。 皆さんのおっ ...続きを読む
>「カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。」

>のうちどこが間違っているのでしょうか。

皆さんのおっしゃっているように
アキレスは亀に簡単に追いつくことはできるんですから、
最後の1文の
”いつまでたっても”
が間違いです。正しい文にするにはこの部分を
”ある限定された短い時間の中では”
と変更すれば良いと思います。
  • 回答No.13
レベル12

ベストアンサー率 22% (121/535)

アキレスと亀は、数学の事象を表す例題なのです。 アキレスが亀を追い越せないということ自体がレトリックなのです。 アキレスが亀を追い越してしまったら、目的とする数式が導き出せないために追い越せないという前提を科しているにすぎません。 それを成立させるために、アキレスと亀の時間は、計測時間を前回の半分にしていきます。これは同じ時間軸で計測させた場合、この例題が成立しないことを物語っています。
アキレスと亀は、数学の事象を表す例題なのです。

アキレスが亀を追い越せないということ自体がレトリックなのです。
アキレスが亀を追い越してしまったら、目的とする数式が導き出せないために追い越せないという前提を科しているにすぎません。
それを成立させるために、アキレスと亀の時間は、計測時間を前回の半分にしていきます。これは同じ時間軸で計測させた場合、この例題が成立しないことを物語っています。
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