• ベストアンサー

背理法

√2が有理数であることの証明ー √2が有理数であると仮定 √2=a/b (a、bは互いに素な自然数) ・・・・・ ここでです なんで たがいに 素な自然数でないといけないんでしょうか どうかおねがいします

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.2

a=bの場合も互いに約数を持つと言う事になりますよね. その場合はa,bの値にかかわらず a/b=1 となります. ですから,a=bの場合,約分した最終の形はa/b=1であり,明らかに√2≠1です.

kirisutegomen
質問者

お礼

ありがとうございます やっと納得できました またあったらおねがいします

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (2)

  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.3

今までの回答で 『互いに約数を持つ』 を 『互いに1以外の約数を持つ』 に訂正お願いします. 細かい所ですが,こういうのが大事です.

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.1

>なんで たがいに 素な自然数でないといけないんで >しょうか 素でない,すなわち,互いに約数を持つ数だとすると,例えば,a=2,b=8の場合 a/b=2/8=1/4ともっと簡単な数字に約分できてしまうからです. だから,a/bは互いに素,すなわち,既約分数だとしなければいけません. 

kirisutegomen
質問者

補足

a=bの場合はどうなるのでしょうか?

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 互いに素である証明(背理法)の解き方

    数学Aの整数の性質について質問です。 ほぼほぼ背理法の質問かもしれないですが、 証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、 これは互いに素であると矛盾する。と仮定したことと反対の互いに素で“ある”と逆のことを言って証明になる意味がわかりません。 背理法って、仮定を立てて、その矛盾を証明するんですよね? それなのになんでこの問題では、仮定と全然違うことを矛盾しているという感じになっているんでしょうか? あと、証明で、kとlは自然数としていますが、互いに素な自然数としないのはなぜでしょうか? 教えてください。

  • 背理法について

    背理法を用いて、次の命題が真であることに示す場合 命題 √3は無理数である √3が有理数であると仮定すると √3=a/b (a,bはお互いに素な整数)よってa=√3b a^2=3b^2 の後がよくわかりません。 お願いします

  • 背理法

    例えば√2が無理数であることを証明する際に有理数であると仮定して矛盾を示しますが、その際に√2=q/pと置いたとして、このときに、『p、qは互いに素な整数』とするのはなぜでしょうか?

  • 背理法の解説をお願いします

    問題 a, bは有理数とする。a+b√3=0のとき、√3が無理数であることを用いて、b=0を証明せよ。 解答 b≠0と仮定する a+b√3=0から √3=-a/b.....(1) a, bは有理数であるから(1)の右辺は有理数である。 ところが(1)の左辺は無理数であるから、これは矛盾である。 したがってb=0 ここで解らないのが「b≠0と仮定する」の部分です 証明する時点ではa+b√3=0が何なのか解らない b=0を証明しろとは言ってもそれが正しいのかどうかは現時点では解らないので 「b=0と仮定する」でも良いのではないのかと疑問に思いました。 そこでb≠0をb=0に置き換えたところで結局は同じ解答になるので 何も証明になってない気がしてなりません。 b≠0の部分をどなたか説明をおねがいします。

  • 高校数I 背理法教えて下さい。

    √3が無理数であることを証明する問題を教えていただきたいのですが、 特に、 √3が無理数でない、(つまり有理数)と仮定した後、1以外に公約数を持たない自然数 a・bを用いて√3=a/bと表す。 と続くのですが、というところで何故a・bが素数でなければいけないのか分かりません。 どなたか教えて下さい。

  • 背理法についての質問です

    p√2が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。 という問題です。 √2が無理数であるという証明は、下のようにわかるのですが p√2が無理数であるという証明は同じように解けるのでしょうか? √2が有理数であると仮定し,これをn/mとおく. (ここに,m,nは整数で互いに素) 両辺を2乗すると 2=(n/m)^2 2m^2=n^2 よって,nは2の倍数・・・(1) n=2kとおく 2m^2=4k^2 m^2=2k^2 よって,mは2の倍数・・・(2) (1)(2)はm,nが互いに素という仮定に反し,矛盾. ゆえに,√2は無理数

  • 背理法って?

    √6が無理数であることを用いて、 √2+√3が無理数であることを証明せよ。 普通は(?) √2+√3=a(aは有理数)とおいて、両辺2乗し √6=(a^2-5)/2 となり、右辺は有理数となるので矛盾! としますが・・・・、 (1) √2+√3を2乗して、5+2√6!  これが無理数なので、無理数!  って証明になります? (2) 有理数と仮定して、2乗しても有理数だ!  ところが無理数になるので矛盾!  これは? 私は、(1)は、5+2√6が無理数になる証明が必要    (2)は、有理数のみが2乗して有理数になるわけではない(逆が成り立たない)のでだめ? と思うのですが、数人で話し合った結果、 背理法では逆は成り立たなくても良い!という結論になりました? でも、いまいち納得できないので、専門家の意見をお聞かせ願えればと思います。

  • 背理法

    ルート2が無理数であることを証明するのですが・・・ 教科書には ルート2が無理数でないと仮定すると、ある有理数に等しいから 1以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか? ルート2をa/bとおくことができる   →この部分が分かりません。 a=ルート2bより、aの2乗=2bの2乗となる。ー(1) よってaの2乗は偶数。ならばaも偶数になるのでcを自然数として a=2cと書ける。  →こうしなければならない意味ってなんですか? よって2bの2乗=4cの2乗ー(2) (1)、(2)より、bの2乗=2cの2乗  →こうなる理由を教えてください。 bの2乗は偶数。よってbも偶数。 ゆえにaとbは公約数2をもつことになるが、これはaとbが1以外に公約数をもたないとしたことに矛 盾する。したがってルート2は無理数。 →分からないです。 全体的に理解できていないので、教えていただけると嬉しいです。長文失礼しました。

  • 二次方程式

    整数、a,bを係数とする2次方程式x^2+ax+b=0が有理数の解をαをもつとき、αは整数であることを示す。 これは、例えば√3は無理数である証明のしかと同様に求めるのですか? α=n/m(m、nは自然数でお互いに素)と仮定するといっったふうに??

  • 数A背理法のもんだいについて

    【問題】 √6が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。 という問題の解答について質問です 【解答】 √6=b/a(a、bは整数)と表せると仮定すると、√6a=bより、両辺を2乗して、 6aa=bb・・・(1) ★aa,bbにふくまれる素数2の累乗の指数は、いずれも偶数であるから 6aa=2・3・aaに含まれる2の累乗の指数は奇数、bbに含まれる2の累乗の指数は偶数であり、素因数分解の一意性より6aa≠bbとなり、(1)に矛盾★ ゆえに、√6は無理数である ★ではさんだ部分がよくわかりません… あと、別解として √6が有理数だとすれば、√6=q/p(p,qは互いに素な自然数(整数?))と表せる。 これより、6pp=qq ☆左辺が2で割り切れるので右辺も2で割り切れなければならず、qは2で割り切れる。 よって、右辺が4で割り切れるので左辺も4で割り切れなければならず、qも4で割り切れる。☆ これは、p、qが互いに素であることに矛盾する。 ゆえに、(背理法により、)√6は無理数である も可能でしょうか? でも☆の部分で、「左辺に6ってあるから2じゃなくて3で割り切れるので~」という風にもなる…?とか考え出したらよくわからなくなっちゃって… ★の部分と☆の部分についてお願いします(> <)