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三角形の面積比問題で
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三角形ＡＢＣは３本の中線で６つの部分に分けられますよね。 また重心をＧとすると ＡＧ：ＧＰ＝ＢＧ：ＧＱ＝ＣＧ：ＧＲ＝２：１ ですね。 そこでＧＰ＝ａ、ＧＱ＝ｂ、ＧＲ＝ｃとすると、 ＡＧ＝２ａ、ＢＧ＝２ｂ、ＣＧ＝２ｃとなります。 ここでＡＧの中点をＭとします。 すると ＡＭ＝ＭＧ＝ＧＰ＝ａとなります。 ここでＲはＢＡの中点でＭはＡＧの中点なので中点連結定理から ２ＲＭ＝ＢＧ＝２ｂ となります。 つまりＲＭ＝ｂとなるのです。 また、ＧＲ＝ｃ、ＭＧ＝ａであることから三角形ＲＭＧは３辺の長さがａ、ｂ、ｃの三角形だと分かります。 そこで三角形ＲＭＧの面積をＳとすると 三角形ＲＡＧの面積は２Ｓとなり、 さらに三角形ＡＢＣの面積は三角形ＲＡＧの６倍で１２Ｓとなります。 次に三角形ＰＱＲの方を見てみましょう。 ＡＰ＝３ａ、ＢＱ＝３ｂ、ＣＲ＝３ｃ より 三辺の長さが３ａ、３ｂ、３ｃの三角形。 つまり三角形ＲＭＧとの相似比が３である三角形だと分かります。 このことから三角形ＰＱＲの面積は９Ｓだと分かるので、求める比の値は４：３です。
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- BK2Sat
- ベストアンサー率23% (11/46)
「△ABCの各辺(AB,BC,CA)の中点をP,Q,Rとする。3つの中線を3辺としてできる三角形の面積と元の三角形の面積比を求めよ」 という問題ですね。 ※私はAの向かいにPがあると思ってたんですが、これによると、Aの向かいはQのようですね。 最初に△PQRと書いたのは誤りですね。 「各中線において BとPをくっつけて、 AとRをくっつけて、 CとQをくっつけて、 △PQRを作ります。」 から想像すると、 「点PよりBRに平行な直線を引き、点CよりAQに平行な直線を引き、それらの交点をSとすれば、PS=BR,SC=AQとなる。こうしてできる△CPSの面積と△ABCの面積比を求めよ。」 ということですか？これなら、#4さんの回答通り、４：３となりました。 面積比、相似比を丁寧に調べていけば求められますね。
お礼
お手数お掛けしております。 改めてのご解説誠にありがとうございます。 仰る通りの内容でございます。
- gamasan
- ベストアンサー率19% (602/3160)
解決したそうですが 私はまだ納得できないんですけど。。 ３本の中線を三辺とする三角形という問題自体が ありえませんよ。 ３本の中線は１点で交わり これを重心といいます。 そもそも 中線で三角形はできないのです。 三角形ＰＱＲというのは単に中点３個を繋いだだけでしょ？ 私の頭の中では △ABCの中に 縮尺が1/2の相似形の△PQR が180度逆さまになってる図しかありませんけど。 とりあえず 解決したなら私達4：1派か 4番さんの 4：3 なのか解説つきで補足していただき 締め切ってくださいませ。
補足
私の字足らずで腹ただしい思いをさせてしまいまして 大変ご迷惑をおかけました。 重ね重ねお詫びを申し上げます。 > 三角形ＰＱＲというのは単に中点３個を繋いだだけでしょ？ その通りでございます。 > 私の頭の中では △ABCの中に > 縮尺が1/2の相似形の△PQR > が180度逆さまになってる図しかありませんけど。 そのようにご解釈されたのは当然ですね。 大変失礼致しました。 4番のご回答が私の質問の回答でした。 (よって4:3です)
- gamasan
- ベストアンサー率19% (602/3160)
1番です。 折角補足してくれたんですが 私や３番さんが持ってる 疑問が全く訂正されていません。 せめて 点P、Q、R がそれぞれどの辺の上に あるのか 補足してください。 「各中線において BとPをくっつけて、 AとRをくっつけて、 CとQをくっつけて、 △PQRを作ります。」 仮に与えられた△ABCが正三角形というなら 各中点のうち ２点を折り目にしたら 各Ａとそれに対応する辺ＢＣ上の中点は重なりますが それ以外の三角形なら重なりませんよ 補足の意味がまったくこの問題に対して意味不明です。
補足
大変、失礼したしました。 問題文を 「△ABCの各辺(AB,BC,CA)の中点をP,Q,Rとします。 中線…」 という風に書けばよかったです。 簡単に申せば 3つ中線を3辺としてできる三角形の面積と元の三角形(△ABCの事)との面積比を求めよという問題なのです。
- BK2Sat
- ベストアンサー率23% (11/46)
すみませんが、図が無いのでもっと詳しく説明しないと、解釈が間違ってしまう可能性があります。 「△ABCの各中点をP,Q,Rとします」 点P,Q,Rは、それぞれ辺BC,CA,ABの中点ですか？つまり、頂点A,B,Cの対辺の中点が点P,Q,Rとなっているのでしょうか？ 「中線AQ,BR,CPを3辺とするΔPQR」 ΔPQRの三辺とは、通常PQ,QR,RPではないのでしょうか？
補足
失礼致しました。 各中線において BとPをくっつけて、 AとRをくっつけて、 CとQをくっつけて、 △PQRを作ります。 字足らずですいません
- company939
- ベストアンサー率29% (79/272)
△PQRは△ABCの辺の中点を結んだ三角形なんだから、 高さにあたる長さは△ABCの半分ですよね。 ということは面積は1/2の2乗で1/4というこになるでしょ。 うまく文章で表現できない（＾＾；A たとえ△PQRの頂点が△ABCの底辺側の辺のどこを移動しようが高さは同じ1/2です。
お礼
ありがとうございます。皆様のおかげで 解決できました。 重ね重ねお礼申し上げます。
補足
失礼致しました。 各中線において BとPをくっつけて、 AとRをくっつけて、 CとQをくっつけて、 △PQRを作ります。 字足らずですいません
- gamasan
- ベストアンサー率19% (602/3160)
図がある場合 それでいいですが文字だけですから そこらあたりは臨機応変に補足して書いて欲しいですね まず中線AQ,BR,CP と書いてますから 角Ａに向かい合う辺ＢＣの中点をＱとおいてるんですよね？ （以下同様に） そうなると 問題文の中線AQ,BR,CPを3辺とする△PQRにおいて という部分が意味不明です。 各中点を頂点とする三角形△PQRでしょ？ 長さが1：2の相似形の面積の比率は1：4だと思いますよ。
お礼
ありがとう皆様のおかげで 解決できました。 重ね重ねお礼申し上げます。
補足
失礼致しました。 各中線において BとPをくっつけて、 AとRをくっつけて、 CとQをくっつけて、 △PQRを作ります。 字足らずですいません
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