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置換積分（高校レベルだと思います）
∫(1/((1-x)√(x^2+x+1)))dxを√(x^2+x+1)=t-xと置換して求める。 t=x+(x^2+x+1)^(1/2)から dx/√(x^2+x+1)=2dt/(2t+1)を求め、元の式に入れてみました。 ∫(1/((1-x)√(x^2+x+1)))dx=∫(2/((1-x)(2t+1))dtとなります。 ここから、どう工夫すれば良いものなのでしょうか？ アドバイスをいただければありがたいです。よろしくお願いします。
- kira_kira_ken
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このまま引き続きxをtで表して計算を続けてみてください．複雑そうに見えますが，この置換パターンは，xは２次式にはならず１次式で変形でき，また被積分関数の分母の一部は計算途中で消えてくれるので，安心？して計算できるはずです． t=x+√(1+x+x^2) → (t-x)^2=1+x+x^2 → x=-(1-t^2)/(1+2t) → 1-x=(2+2t+t^2)/(1+2t) と変形できるので， ∫(2/((1-x)(1+2t))dt=∫(2/(2+2t-t^2))dt となり，有理分数式に変形できます．以下， 右辺=∫(2/(3-(1-t)^2))dt =(1/√3)*∫(1/(√3+1-t)+1/(√3-1+t))dt =(1/√3)*(-log(√3+1-t)+log(√3-1+t)) + const. =(1/√3)*(-log(√3+1-x-√(1+x+x^2))+log(√3-1+x+√(1+x+x^2))) + const. となります．
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- tarame
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＞√(x^2+x+1)=t-xと置換して 両辺を２乗して式変形すると ｘ＝(t^2－1)/(2t＋1) ＞∫(2/((1-x)(2t+1))dt に代入して ＝－∫(2/(t^2-2t-2))dt
お礼
早いレスありがとうございました。 ご指摘を受けたように計算を続けて 無事に答えにたどり着きました。(^^)
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