置換積分の途中計算がわかりません

質問

ー教科書－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(e^x)+1=tとおいて置換積分すると
∫((e^x)+1)' log((e^x)+1)dx
=∫(logt)(dt/dx)dx
ー－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

とありましたが、
(e^x)+1=tを全微分すると
(e^x)dx=dtより
dx=(1/(t-1))dtとなるため

ー－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
∫((e^x)+1)' log((e^x)+1)dx
=∫t' (logt)(1/(t-1))dt
=∫(logt)(1/(t-1))dt
ー－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ではないのですか？

どこかで私の計算が間違っているのだと思われます。
よろしくお願いします。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

たぶん元の問題が

∫ e^x log (e^x + 1) dx = ?

で、答が
(e^x + 1) { log (e^x + 1) - 1 } + C

となるものとして解答します。

ーーーー
∫((e^x)+1)' log((e^x)+1)dx …①
=∫t' (logt)(1/(t-1))dt …②
=∫(logt)(1/(t-1))dt …③
ーーーー

①の (e^x + 1)’ に現れる微分記号は「xについての微分」です。…（★）
①から②に移るとき、e^x + 1 = t とおき
dx を dt に直しているところは問題ありません。
ただし、②の t’ は、上記（★）より「tをxについて微分したもの」です。
②から③に移るときに t’ が 1 になっているところが誤りです。この部分は
t’ ( = dt/dx ) = e^x = t - 1
となるため、③の式は正しくは

= ∫ log t dt

となり、このあとは

= ∫ t’ log t dt (この微分記号はtについての微分)
= t log t - ∫ t (log t)’ dt
= t log t - ∫ 1 dt
= t log t - t + C
= t (log t - 1) + C
= (e^x + 1) { log (e^x + 1) - 1 } + C

となります。

お礼

大変ご丁寧にありがとうございました。理解できました。

回答No.1

asuncion

えっと、とりあえず
問題文の原文を載せてくれへんかな？