パスカルの三角形と未使用での展開

質問

前にも質問したのですが本格的に入りすぎた感じもあり、
今回もう一度お尋ねします。

前回このような質問をしました。
「たくさんの次数がついた展開はどうすればよいのか？」
そして、最初に帰ってきた答えが「パスカルの三角形」を使用すれば簡単にできるということ。
さっそく調べて見ました。

・ちょっと書く形がちがいますが一応パスカルの三角形です。
1111
1|1111
1|1234
1|1369
1|149

これを応用して（a+b)~3 を展開したとしたら…

（a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^b + b^3

これは公式でもあるのでパスカルの三角形を使用しなくてもスラスラ書けます。
問題はここから。
途中 3 という係数ありますよね。この係数はパスカルの三角形からどのように求めているか？です。

実際は（a+b)^7 になるとパスカルの三角形はドンドン高くなる一方ですね。
果てしなく東京のビルディングみたいに。

・最終的な問題は
最初はパスカルの三角形の応用からで、こんどパスカルの三角形を使わずどう展開するかです。

☆今週は事情があってよく質問すると思いますのでよろしくお願いします。

回答No.3

mame594

質問の主旨が今ひとつ分かり難いのですが・・・

n個からr個を取り出す組合せを(n,r)と書く事にすると，
(n,r)=n!/(n-r)!r!　はご存知ですね．
また，２項定理　(a+b)^n=Σ[r=0～n](n,r)a^r・b^(n-r)はご存知でしょうか？
a^r・b^(n-r)の係数はこの式にある(n,r)です．
例えば，(a+b)^7のa^2・b^5の係数は(7,2)=7!/(2!5!)=21です．

パスカルの数三角形は，次数が1つ下の組合せから作っていったただの早見表と言う理解ですが．
つまり，(n,r)=(n-1,r-1)+(n-1,r)という公式（定義式から簡単に導ける）を利用して1から順位積み上げていくだけのこと．
例えば，質問にある3次式の２番目の3は，
(3,2)=(2,1)+(2,2)=2+1=3　といった具合．

お礼

今のところ完全ではありませんがたいてい解決したようです。
どうもご丁寧にありがとうございます。
又今度わからなかったら、そのときはよろしくお願いします。

補足

私の頭脳ではパスカルの三角形を実際に書くことしか、
方法がないのでしょうか？

この段階でひとつわかったのは、
（a+b)^n の裏にはこの様な複雑な式が隠れていたことです。