パスカルの三角形と未使用での展開

質問

前にも質問したのですが本格的に入りすぎた感じもあり、
今回もう一度お尋ねします。

前回このような質問をしました。
「たくさんの次数がついた展開はどうすればよいのか？」
そして、最初に帰ってきた答えが「パスカルの三角形」を使用すれば簡単にできるということ。
さっそく調べて見ました。

・ちょっと書く形がちがいますが一応パスカルの三角形です。
1111
1|1111
1|1234
1|1369
1|149

これを応用して（a+b)~3 を展開したとしたら…

（a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^b + b^3

これは公式でもあるのでパスカルの三角形を使用しなくてもスラスラ書けます。
問題はここから。
途中 3 という係数ありますよね。この係数はパスカルの三角形からどのように求めているか？です。

実際は（a+b)^7 になるとパスカルの三角形はドンドン高くなる一方ですね。
果てしなく東京のビルディングみたいに。

・最終的な問題は
最初はパスカルの三角形の応用からで、こんどパスカルの三角形を使わずどう展開するかです。

☆今週は事情があってよく質問すると思いますのでよろしくお願いします。

回答No.4

noname#8027 · ベストアンサー

>それで…「!」ってどのような意味でしたっけ？

x!は、「ｘの階乗」と読んで、
x!＝1*2*3*・・・・*x
と順番にかけ算する計算をひとまとめに表す記号です。

>xＣy＝x!／y!(x-y)!

は、ぱっとみややこしそうな式ですが、具体的に、ｘ、ｙに数値を入れて考えてみるとわかりやすいと思います。結構、約分できて、実際の計算上は、違ったイメージで頭の中に残ると思いますよ。

お礼

今のところ完全ではありませんがたいてい解決したようです。
どうもご丁寧にありがとうございます。
又今度わからなかったら、そのときはよろしくお願いします。

補足

（a+b)^6 場合

　7C6=7!/6!(7-6!)

となるんですよね。上の式から…

7は a の数ということは6は何の数？(次数？)

初めて(自分の記憶にはないので)！はどのように計算すれば…

※これでも辞典・その他を用いて調べてます。

回答No.7

BLUEPIXY

#6の補足
＞(?)は係数です。この係数をどう求めるかです。
(a+b)^nの時のa^r*b^(n-r)の係数は
nＣ(n-r)になります
例：
(a+b)^7
の時a^2b^5の係数は
与式より
７Ｃ（７－２）＝７Ｃ５：７つのものから５つのものを選ぶ組み合わせの数
組み合わせの数を求めることってできますよね？

補足

(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7

係数のみのコンビネーションで

(a+7)^7 = 7C0 + 7C1 + 7C2 + 7C3 + 7C4 + 7C5 + 7C6 + 7C7

以上を1つ1つ以下の公式で解いてゆく。

xＣy＝x!／y!(x-y)!

たとえば
7Ｃ2 ＝ 7!/2!(5!) = 7*6*5*4*3*2*1/2*1(5*4*3*2*1*) = 7*3 = 21

と一つ一つやるとしたら時間がかかると思い、
(a+b)^7 程度なら、パスカルの三角形を実際に書いてみてやる方が早く解けると思います。

(a+b)^50 とか (a+b)^100 と多い場合は別ですが…

回答No.6

BLUEPIXY

もう、他の人が答えておられるので蛇足ですが、
こう考えてみてはどうでしょう。
(a+b)*(a+b)*…を考える時
結果がa^nになるようなそれぞれの（）を選ぶと、
全ての（）からaを選んだことになります
これは、１通りしかありませんね。
bが一個だけあるように通り道を選ぶと
ｎ個の（）から１回ｂを選ぶ組み合わせの数だけ通り道があることになり、
a^(n-1)bの係数はｎＣ１になります。
これから、一般的に
(a+b)^nの時のa^r*b^(n-r)の係数は
nＣ(n-r)になります

お礼

今のところ完全ではありませんがたいてい解決したようです。
どうもご丁寧にありがとうございます。
又今度わからなかったら、そのときはよろしくお願いします。

補足

＃5の方の補足をあわせてですが、
(a+b)^7
は、

(a+b)^7 =
a^7 + ?a^6b + ?a^5b^2 + ?a^4b^3 + ?a^3b^4 + ?a^2b^5 + ?ab^6 + b^7

(?)は係数です。この係数をどう求めるかです。

＃6さんの回答は現在分析中です。

回答No.5

noname#8027

>7は a の数ということは6は何の数？(次数？)

(a+b)^7 の場合を考えていて、７はこれの次数です。

>7C6
これは、a^6bの係数です。a^6の６が7C6の６です。

7C6=7!/6!(7-6!)
＝1*2*3*4*5*6*7/(1*2*3*4*5*6)＊(1)
＝７

したがって、a^7＋7a^6b＋・・・・
となりますね。

補足

理解しているかはわかりませんが…
(a+b)^7
の次数のみを順番にばらして見ると…

aの次数→　a^7,a^6,a^5,a^4,a^3,a^2,a
bの次数→　b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7

これに、係数を継ぎ足したら答えが完成するのでは…
ではその係数はどのように求めるのか…？

回答No.3

mame594

質問の主旨が今ひとつ分かり難いのですが・・・

n個からr個を取り出す組合せを(n,r)と書く事にすると，
(n,r)=n!/(n-r)!r!　はご存知ですね．
また，２項定理　(a+b)^n=Σ[r=0～n](n,r)a^r・b^(n-r)はご存知でしょうか？
a^r・b^(n-r)の係数はこの式にある(n,r)です．
例えば，(a+b)^7のa^2・b^5の係数は(7,2)=7!/(2!5!)=21です．

パスカルの数三角形は，次数が1つ下の組合せから作っていったただの早見表と言う理解ですが．
つまり，(n,r)=(n-1,r-1)+(n-1,r)という公式（定義式から簡単に導ける）を利用して1から順位積み上げていくだけのこと．
例えば，質問にある3次式の２番目の3は，
(3,2)=(2,1)+(2,2)=2+1=3　といった具合．

お礼

今のところ完全ではありませんがたいてい解決したようです。
どうもご丁寧にありがとうございます。
又今度わからなかったら、そのときはよろしくお願いします。

補足

私の頭脳ではパスカルの三角形を実際に書くことしか、
方法がないのでしょうか？

この段階でひとつわかったのは、
（a+b)^n の裏にはこの様な複雑な式が隠れていたことです。

回答No.2

noname#10493

普通は二項定理を使うでしょう。
高校の数学の参考書には大抵載っているので、調べれば載っていると思います。一問だけ理屈で説明するより、習うより慣れろで手ごろな問題を数題やった方が身につくと思いますよ。

補足

二項定理ですか。

調べるということはとてもいいことですが、このコンテンツで調べることも立派な調べるではないでしょうか？
また、方法を習う前に問題集をやろうとするとしてもそれは、目隠しで道を歩くと同然と思います。

回答No.1

noname#8027

>こんどパスカルの三角形を使わずどう展開するかです

高校ぐらいの「確率」は知っていますか？

(a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b)*(a+b)=

を求めたいとき、a^6bの係数は、
各かっこの中から、ａを因数としてとりだすのをどのかっこから取ってくるかということだから、

7Ｃ6を計算することになります。

同様に、a^5b^2であれば、係数は、7Ｃ5です。

Ｃの計算の仕方は、xＣy＝x!／y!(x-y)!です。

補足

確率について質問したですが、
理解がなされぬまま締め切って一時STOPさせておきました。
そのため、この質問が終わったらあえて質問するつもりだったのであります。
それで…「!」ってどのような意味でしたっけ？