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数学 共有点について
共有点の個数について 図形と方程式において、共有点の求め方は文字消去して求めますが、何でもかんでも文字消去でよろしいのでしょうか。 例えば、yを文字消去して、xについて整理してxの方程式を解くとき、その時のxの解が共有点ということですよね。 ①直線と放物線の共有点 ②直線と円の共有点 ③円と放物線の共有点 「共有点or共有点の個数を求める問題」 ①〜③は前提として、文字消去は行うということですよろしいでしょうか。 ①や②を解く際に、無意識に、直線y=ax+b(a,b実数)を放物線の式(①の場合)や円の方程式(②の場合)に代入して、xを整理して、xの2次方程式ついて解いていました。 ですが、③でも文字消去をしますが、それだけでは正確な「共有点or共有点の個数」を求めることはできないですよね。 ③ 放物線:y=x² ･･･(1) 円:x²+(y-a)²=4 ･･･(2) (1)を(2)のx²に代入して、文字xを消去して、yを整理して、yの2次方程式を解いていきますが、 y²+(-2a+1)y+a²-4=0 D=-4a+17 D>0の時 0<a<17/4 yの実数解2こ D=0の時 a=17/4 yの実数解1こ D>0の時 a>17/4 yの実数解0こ 上の2次方程式の判別式Dで実数解の個数から共有点を全て求めることはできないですよね。 解説を見ると、yの解1個に対してxの解の個数を考えて解きますが、上記の①や②の時にそのようなことを考えることはあまりないですが、実際①〜③全てにおいてyの解に対応するxの解の個数は考えないといけないということでしょうか。 参考書などには「円と放物線の共有点」の時は連立方程式の解とグラフを両輪にして考えると書いてあったのですが、なぜ式だけでは解けないのでしょうか。
- math1150
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- maskoto
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3のケースはグラフがY軸対称だからです 仮に、共有点の一つが (√3、3)なら Y軸対称なので(-√3、3)も共有点となる Y軸対称では Yとxが1対1の対応になっていないので Y座標について調べたら、更にx座標を調べる必要があるのです はじめから、共有点のx座標を調べた場合は Y＝x²により、xが決るとYもきまるので、前者のような気遣いはいりません 例 Y＝x²とx²+(Y-2)²＝4の共有点を Y消去で求めると x²+(x²-2)²＝4 x⁴-3x²＝0 x＝0(重解)、±√3 xが決るとYが一つに決まるから 共有点は3個 1、2のケースはxとYが1対1に対応して居るので、Yの解の個数からxの個数も考慮と言う気遣いはいりません ただし x²+Y²＝4と垂直直線x＝1の共有点を調べる場合などは 交点のx座標＝1に対応するY座標が２個あるので、注意が必要です
- kiha181-tubasa
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＞図形と方程式において、共有点の求め方は文字消去して求めますが、何でもかんでも文字消去でよろしいのでしょうか。 はい，基本的にその通りです。共有点とは「二つの図形の方程式を共に満たすxとyの組(x, y)」ですから，それを求めること＝連立方程式を解くという作業になります。 ＞参考書などには「円と放物線の共有点」の時は連立方程式の解とグラフを両輪にして考えると書いてあったのですが、なぜ式だけでは解けないのでしょうか。 ③でいえば，ひとつのyの値が定まった時に，それに対応するxを求めますが，（グラフを書いてみると一目瞭然ですが）無関係なxの値も求まってきます。だから，グラフも判断に使う必要があるのです。 ついでに言えば，①や②でもxの値が求まったら，「直線の方程式に代入してyを求める」という作業をしますね。その方が楽だからですが，直線の方程式はxとyが１対１に対応しているから計算しっぱなしでも良いのですね。 でも，もし①②でもyの値を求めるのに，放物線や円の方程式にxを代入してyを求めようとすると関係ないyの値も出てきてしまいますよ。 ですから参考書などには『「円と放物線の共有点」の時は連立方程式の解とグラフを両輪にして考える』と書いてあったのです。
- gamma1854
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まず、y=f(x), y=g(x) で表される２つのグラフがあるとします。このとき、この２つのグラフの共有点の座標は 連立方程式 {y=f(x), y=g(x) } の「実数解」です。 これがすべてですが、この問題の場合はDの符号以外にも場合分けを要します。 -------------- y=x^2, x^2+(y-a)^2=4, の場合。(「x2」は無意味です。xの2乗であれば必ず、「x^2」と書いてください。) D=17-4a として、「異なる共有点の個数」(重解は「１つと考える」)は、 a>17/4 のとき、0. a=17/4 のとき、2個. 2<a<17/4 のとき、4個. a=2 のとき、3個. -2<a<2 のとき、2個. a=-2 のとき、1個. a<-2 のとき、0個. ------------------------------------- 結果は上記のとおりですが、D>0 の場合は、y=(2a-1-sqrt(17-4a))/2 の符号も問題になります。
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