鏡張りの部屋の中のレーザー。

質問

内側が鏡張りの直方体の部屋にレーザービームが閉じ込められていて、鏡に反射しながら部屋の中を飛び回っています。レーザーは減衰しないし、拡散もしないとします。

このレーザービームの軌道が、(無限の時間をかければ)部屋の中の全ての点を通るようにできますか。

できるなら、その初期条件を教えてください。

初期条件とは、直方体の辺の比率とか、ある瞬間のレーザーが飛ぶ方向、などです。

できないなら、できない理由を教えてください。

尚、これは数学の質問なので、物理的、技術的な問題は発生しないものとしてください。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

例えば、直方体の上下の中点を結んだ線分 L 上の点をレーザーが通過する点を考えてみると、レーザーが上の辺から跳ね返って下の辺に跳ね返るまで、Lと交わる個数は有限個なので、レーザーを「無限に」走らせても、レーザーは上下の辺に可算無限回しか反射しないので、レーザがLと交わる点はたかだか可算個しかありませんが、一方でL上の点の個数は連続濃度だけ存在するので、線分L上の点を網羅することすらできないことが分かります。

回答No.6

tmppassenger

取り敢えず回答だけしておきますが、あまり脱線したくありません。

可算集合と連続体濃度の集合との合併は、常に連続体濃度を持ちます。
連続体濃度とは実数全体の集合の濃度を指し、何か複数の種類の濃度を指すものではありません。

回答No.5

tmppassenger

別の議論をしておきます。以下の議論で、測度とは体積のようなものと思っておけば良い。

ある時刻からレーザーが出発して、時刻tまでにレーザーが通過した部分全体を S(t) とすれば、 S(t)は有限個の線分の合併に過ぎないので、3次元空間において、S(t)の (Lebesgue)測度 μ(S(t)) は常に0です。

S(t)はtによって単調に増加するので、 無限の時間の長さの間にレーザーが通過する部分全体 S は、 S = lim[t→∞] S(t) = ∪[t∈N] S(t) （但しNは自然数全体）となりますが、S(t)はtの拡大列なので、 Sの測度は μ(S) = μ (∪[t∈N] S(t) ) = lim[t→∞] μ(S(t))が成り立ち、上で書いた事から、この値は0。つまり Sの測度は0。一方部屋内部の測度は、縦×横×高さに等しいので、両者は明らかに等しくない。

Lebesgueが定義した用語を使えば、『ほとんど全ての』部屋内部の点は、レーザーが通過する点ではない。

回答No.4

tmppassenger

あなた自身が
> ある面においては可算ですが

と書いてあるではないですか。

補足

加算でないものの中にも強さの違いがあるということですか。

加算よりも連続の方が強いのはわかりました。

加算+連続と連続ではどちらが強いですか。また、連続の種類の中でも強さの違うものがあったりしますか

回答No.3

tmppassenger

別に壁が動いたとしても、有限時間の間にレーザーと壁が衝突する点は有限個なので、レーザーを無限時間動かした時にレーザーと壁が衝突する点は高々可算しかない（が、一方で壁は連続体濃度の点からなる）、ということは変わらないですよね。それとも壁を動かすというのが違う事を想定しているのなら別ですが。

補足

ある面においては可算ですが、レーザーが通ってきた直線上においては連続なので可算ではないですよね。そしたら、それを何とか利用して空間内の全ての点を通るようにできませんか。

回答No.2

tmppassenger

あ、長方形でなくて直方体か。でも直方体ならもっとダメなので。

分かり易いように直方体の一つの側面を考えると、レーザーはその側面上で毎回違う点で反射するとして、レーザーは「無限回」反射します。しかし、その各々の反射点は、レーザーが『何回目に』反射した点か、という風に番号付けをすることが出来る。その各々の点についた『番号は、何れも自然数』です。

こう言う風に、無限個の点からなる集合ではあるけれども、その各々の点には異なる自然数の番号をそれぞれ割り当てる事ができるような無限集合を、「可算集合」といっています。

ところが、側面全体の集合は、これは可算ではないのです。可算集合は無限集合の中でも「最弱」で、側面全体の集合は可算集合より「真に数が多い」のです。

この辺の事情が知りたい場合は、「カントールの対角線論法」で検索してみてください。この辺の無限の大小の議論を構築したのが、今でてきた19世紀に登場したカントールです。

補足

なるほど。ありがとうございます。

無限て不思議ですね。
ちなみに、部屋の壁の角度がゆっくりランダムに動くことを永久に続けたら、レーザーは、その部屋の中の全ての点を通過しますかね。