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【高校】2次方程式の実数解の条件
「2次方程式mx~-x-2=0(~は2乗にしました)の2つの実数解が以下のようになるためのmの条件を求めよ。 (1)2つの解がともに -1より大きい。 (2)1つの解は1より大きく、ほかの解は1より小さい (3)2つの解の絶対値がともに1より小さい。」 という問題なのですが、答えを導き出すための方針だけで構わないので教えていただきたいのですが… <自分なりに考えた方針> (1)f(x)=mx~-x-2 とおいて、平方完成し、その後、軸の方程式が-1より大きいという条件と判別式の条件と、f(-1)>0という条件からmを出す。(3つの条件からmをだすのが自分ではわかりませんでした。) (2)f(1)<0という条件から出す。(これはmが出ました) (3)見当がつきません。 以上の自分の考えがあっているかどうかでもいいので教えてください
- DcSonic
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- 数学・算数
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質問者が選んだベストアンサー
(1)これは機械的に数式でやった方が楽でしょう。 まず。判別式≧0 2実数解をα、βとおく。 α>-1、β>-1ということなので、これは、 α+1>0、β+1>0と同値。 これは、 (α+1)+(β+1)>0 (α+1)(β+1)>0 と同値なので、上の2つの不等式のα+β、αβを解と係数の関係からmの式に直して、不等号を解く。 もしグラフでやるとすると、 (i)m>0のとき ・判別式≧0 ・軸>-1 ・f(-1)>0 (ii)m<0のとき ・判別式≧0 ・軸>-1 ・f(-1)<0 (2)これはグラフの方が楽でしょう。 (i)m>0のときf(1)<0 (ii)m<0のときf(1)>0 (3)これもグラフの方が楽かな (i)m>0のとき ・判別式≧0 ・-1<軸<1 ・f(-1)>0、f(1)>0 (ii)m<0のとき ・判別式≧0 ・-1<軸<1 ・f(-1)<0、f(1)<0
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(3) 絶対値は、はずしてみてかんがえましょう。 問題の場合なら、|α|<1 ならば、-1<α<1 パターンの理解としては、「2つの解の絶対値がともに1より大きい」を練習として求めてみましょう。
お礼
|α|<1 この式を解いてみれば -1<α<1 という解の範囲が出るんですね!ありがとうございます。助かりました。
- elmclose
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mが正の場合と負の場合とがあります。 (1)は、 判別式 > 0 頂点のx座標 > -1 f(-1) * 頂点のy座標 < 0 (2)は、 判別式 > 0 m * f(1) < 0 (3)は、 判別式 > 0 -1 < 頂点のx座標 < 1 f(-1) * f(1) > 0 これで、解けないでしょうか。
補足
回答ありがとうございます。 f(-1) * 頂点のy座標 < 0 というのは、f(-1)と頂点のy座標をかけるとマイナスということですか? なぜそうなるのかよくわからないので教えていただけませんか?
- パんだ パンだ(@Josquin)
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まず、mが正か負かで場合わけして考えましょう(問題に2次方程式と明記されているので、m=0の場合は考えなくていいです)。 あとは、頭の中だけじゃなく、グラフを実際に書いて考えることです。
お礼
そうでした(^^ゞm=0の場合は考えなくてよかったんですね。 素早い回答ありがとうございましたm(__)m
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