- ベストアンサー
フーリエ級数からフーリエ変換へ
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
一種の便法、という捉え方でよいです。 ・長さπをL個に分割したときの1区間の長さは （π/L）である。これをΔαとおく。 ・原点から正方向に、区間k個ぶん（kπ/L）進んだところの座標は k Δα である ・ここでLを十分に大きくすると、式③で求めようとしているΣ（無限和）は 「Δαをdα、kΔαをαと置き換えた定積分の値」に収束する ・よって、③式（無限和）の値は⑥（定積分）と等しい という流れになります。 高校数学で現れる「区分求積法」の考え方にあたります。 （式④、式⑤から④’、⑤’に移るときの書き方はもうちょっと丁寧にしてほしいものですね）
関連するQ&A
- フーリエ級数とフーリエ変換
大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに 「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。 そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか？ 自分なりに調べてみて、 ・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。 ・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が０になる。 これって正しいですか？（数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数）
フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数） 次の-L≦X≦Lで定義された関数f(x)を f(X＋2nL)＝f(x)により -∞＜x＜∞に拡張した周期関数の複素フーリエ級数展開を求めよ f(x)=0(-L≦X<0), 1(0≦X<L) この問題が解けないので、どなたか教えてほしいです。 f(x)=xのようなかんじだったらとけるのですが、この問題のような形式だと、詰まってしまいます・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 周期関数をフーリエ級数を用いて表す
ある周期関数をフーリエ級数を用いて表すという問題がわかりません。 フーリエ変換を用いるようですが、様々なサイトを見てもフーリエ級数→周期関数の説明ばかりで、これといって参考になりそうなサイトが見つかりません。 具体的な解き方、もしくはそれが説明してあるサイトを教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数）
フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数） 次の-L≦X≦Lで定義された関数f(x)を f(X＋2nL)＝f(x)により -∞＜x＜∞に拡張した周期関数の複素フーリエ級数展開を求めよ f(x)=0(-L≦X<0), 1(0≦X<L) ここで教えていただいたのですが、 恥ずかしながらあまり理解できなかったため、再度質問します 複素フーリエ係数が cn==∫【-L→L】f(x)*exp(-i n x)/2πdx この公式より cn=∫【-L→0】0*exp(-i n x)/2πdx ＋∫【0→L】1* exp(-i n x)dx コレであっていますか？ なんだか単純なような・・・ 回答お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数からゼータ関数
フーリエ級数について勉強していて、疑問に思った事がありました。 まず、ｙ＝ｘ^2（-π≦ｘ≦π）をフーリエ変換して、 x^2－(π^2)/3＝４(－cosx＋(cos2x)/4－(cos3x)/9＋(cos4x)/16……) という級数を得ました。これにｘ＝πを代入すると、ζ(２)＝(π^2)/6 というゼータ関数の公式を得る事ができます。 また、この両辺を微分して、 ２ｘ＝４(sinx－(sin2x)/2＋(sin3x)/3－(sin4x)/4……) となるので、ｘ＝π/2を代入すると、 π/4＝１－１/３＋１/５＋１/７…… というグレゴリーの公式を得ることになります。ここまでは納得できました。 今度は、x^2－(π^2)/3＝…の両辺を４回微分します。すると、 ０＝４(－cosx＋4cos2x－9cos3x＋16cos4x……) となるので、ｘ＝πを代入すると、 Ｏ＝４(１＋４＋９＋１６……) ⇔Ｏ＝１＋４＋９＋１６…… となります。これを見た瞬間におかしいと思ったのですが、これはちょうどゼータ関数の公式に一致します。この式は、ゼータ関数を複素関数として解析接続をして得られるそうなのですが、このような、フーリエ級数表示して両辺を微分する、という導き方は正当なのもなのでしょうか。 仮にこの導き方が正しいをすると、さらに偶数回の微分を繰り返して、 ζ(2n)＝０（ｎは負整数） という結果が導けるのですが、ゼータ関数の値がこんな簡単に導けるものなのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ変換など。スペクトルの図を見て何がわかるのか？
理系の大学生です。院試のためフーリエ変換などを復習しています。 そして恥ずかしながらスペクトルの図の表すものが何なのかよくわかりません。 スペクトルの図を書く方法はわかるのです。 フーリエ変換の計算方法もわかります。フーリエ級数展開もできます。 ただ、スペクトルの図をみて何がわかるのかがよくわかりません。 例えば、ある関数を微分して導関数の図を描くとするじゃないですか。 すると導関数の値が正になってれば元の関数は傾きが正とか、 つまり導関数の図を見て読み取れることがありますよね。 同様にスペクトルの図を描けば、描いた以上元の信号について読み取れることがあるはずですよね。 それが何なのかよくわかりません。 イメージとしては↓のＵＲＬをご参照ください。 http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap2/index.htm よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tan(x)はフーリエ級数に展開可能？
L^2に属する関数はL^2ノルムの近似の意味でフーリエ級数展開ができるが、L^2に属さない関数はフーリエ級数展開してはいけないということではないと思います。実際、クーロンポテンシャルの様にL^2に属さない関数のフーリエ変換が必要になることはしばしばあります。区間[-π/2,π/2]で形式的にフーリエ展開すると tan(x)～2(sin(2x)-sin(4x)+sin(6x)-sin(8x)+…) になると思います。右辺の関数のグラフを描いてみると振動が大きいが平均すればtan(x)に近いようにも見えます。したがってtan(x)はL^2の意味ではフーリエ展開できないが、振動を平均化する操作を行えばフーリエ展開可能とも考えられます。tan(x)は何らかの意味でフーリエ級数に展開可能と考えることはできるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sech関数のフーリエ変換
sech関数のフーリエ変換についてです。 公式集やネットによるとsech関数のフーリエ変換は f(x)=sech(ax)とすると、F(ω)=(π/a)sech(πω/2a) となるようなのですが、どのような過程でこうなるのかがわかりません。 このフーリエ変換の導出について教えていただきたいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧な回答ありがとうございました。深く感謝申し上げます。