複素数

質問

次の問題の、18(1)(2)と19を教えていただきたいです。

18の(1)は、1-sinθ+icosθなら分かるのですが、この問題だと分かりません。

19は、実数ということはzとzの共役複素数が等しくなることを使うのだと思いますが、どう使えば良いか分かりません。
お願いします

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

18(1)
w = (1 + sinθ + i cosθ) / (1 + sinθ - i cosθ)
= { (1 + sinθ + i cosθ) (1 + sinθ + i cosθ) } / { (1 + sinθ - i cosθ) (1 + sinθ + i cosθ) }
= { (1 + sinθ)^2 + 2 (1 + sinθ) i cosθ - (cosθ)^2 } / { (1 + sinθ)^2 + (cosθ)^2 }
= { 1 + 2 sinθ + (sinθ)^2 - (cosθ)^2 + 2 (1 + sinθ) i cosθ } / { 1 + 2 sinθ + (sinθ)^2 + (cosθ)^2 }
= { 2 sinθ + 2 (sinθ)^2 + 2 (1 + sinθ) i cosθ } / { 2 + 2 sinθ }
= { 2 sinθ (1 + sinθ) + 2i cosθ (1 + sinθ) } / { 2 (1 + sinθ) }
= sinθ + i cosθ
= cos(π/2 - θ) + i sin(π/2 - θ) …答

(2) ドモアブルを用いて示せます。

19
| z - 1 | = 1 より、複素数平面においてzが表す点は
「中心 1、半径1の円周上」…☆ にある。
・z = 0 は題意をみたす。
・以下、z ≠ 0 のときを考える。
z^3が実数であるから、z^3の偏角はπの整数倍である。nを整数として
arg (z^3) = nπ
arg (z) = (n/3)π
となる。
円周☆の上で、偏角がπ/3の整数倍になる点を図で考えると
z = 2 （偏角0）
z = (1/2) + (√3/2) i （偏角π/3）
z = (1/2) - (√3/2) i （偏角 -π/3）
の3個である。よって求める値は
z = 0 , 2 , (1/2) ± (√3/2) i …答