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三角比が90度以上でも成り立つ理由がわからない
三角比が90度未満であれば、成り立つ理由が分かります 直角三角形の直角以外の一つの角をΘとすると、そのΘが決まれば、90度とΘ度を持つ角になり、それは相似条件”2組の角がそれぞれ等しい”を満たすため相似で、相似の定義から、直角とΘ度の角を持つ三角形の辺の比は一つになります 90度以上だと、何故Θが決まると、辺の比が一つになるのでしょうか？ 教科書を見ても、”Θの大きさだけで決まる”としか書かれていなくて、なぜΘの大きさだけで決まるのかが分からないです また、ネットで検索をしましたが、90度以下の三角比がなぜ成り立つのかの説明しかありませんでした 何か変なことを言っている可能性がありますが、ご了承ください どなたかご教示お願い致します。
- user19318131
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- kiha181-tubasa
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№２です。 ＞90度以上だと、何故Θが決まると、辺の比が一つになるのでしょうか？ θが９０°以上では，sinθ, cosθ, tanθを「直角三角形の辺の比」と考えることはできません。あくまでも「θできまる一つの値」と考えるべきです。 なお，例えば１２０°の内角をもつ三角形は限りなく存在しますが，sin１２０°, cos１２０°, tan１２０°はもう辺の比ではありません。 三角比辺の比という考え方は脇に置いてください。辺の比とは，θが鋭角の時だけいえることなのですから （cos１２０＜0， tan１２０°＜0ですし……。辺の長さがマイナスなんでありませんね） ＞教科書を見ても、”Θの大きさだけで決まる”としか書かれていなくて、なぜΘの大きさだけで決まるのかが分からないです。 定義は「座標平面において，原点を中心とする円の周上の点をP(x, y)，円の変形をr，半直OPがx軸の正の向きとなす角をθとするとき，値の値y/r, x/r, y/xはrの大きさに関係なくθだけで定まる値である。そこでsinθ=y/r, cosθ=x/r, tanθ=y/xと定める」です。 θが決まれば，「 」内に説明してある図が決まりますから，y/r, x/r, y/xが決まるのは理解できますね。rには関係ないのは，rを変えても（rを２倍にするとyも２倍になります）相似形になるので，y/r等の比は変わりません。それら，sinθ=y/rはrの大きさに関係なくθだけで決まるという意味なのです。 cosθ=x/r, tanθ=y/xについても同様にrに関係なくθだけで決まることは理解できましたか。 （補足）数学で大事なのは計算ではなく，このようなことを成程！！と納得することなのです。
>90度以上だと、何故Θが決まると、辺の比が一つになるのでしょうか？ これが間違ってるんだと思いますけど、どこかにそう書いてありましたか？ 鈍角三角形は直角を含まないのでそのままで三角比を適用できません。普通は幾何的に補完するなどして解を求めると思いますが。
- nihonsumire
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おっしゃる通りです。ただ、90°以上になっても使える工夫をしてるわけです。
- kiha181-tubasa
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自分は年齢が高いので，今の生徒さんが習った年齢とは異なるかもしれませんが……。 三角比は中学３年生では「直角三角形の辺の比」として習いました。 それが，高校１年生になると，「座標平面において，原点を中心とする円の周上の点をP(x, y)，円の変形をr，半直OPがx軸の正の向きとなす角をθとするとき，値の値y/r, x/r, y/xはrの大きさに関係なくθだけで定まる値である。そこでsinθ=y/r, cosθ=x/r, tanθ=y/xと定める」という本来の定義になりました。この定義だと，θが９０°を超えても成り立ちます。 そして，θが９０°以下の場合ももちろん含んでいます。 定義ですから，覚えるしかありません。そしてこの定義がすべての公式の証明の土台になります。
補足
すみません 私が聞いているのは、「座標平面において，原点を中心とする円の周上の点をP(x, y)，円の変形をr，半直OPがx軸の正の向きとなす角をθとするとき，値の値y/r, x/r, y/xはrの大きさに関係なくθだけで定まる値である。そこでsinθ=y/r, cosθ=x/r, tanθ=y/xと定める」 という定義で、鈍角三角形の時,sinθ,cosθ,tanθがΘが決まると辺の比が一つに決まるのは何故かと聞いています 直角三角形を用いた定義の場合、上述した通り、sinθ,cosθ,tanθはΘが決まると辺の比が一つに決まることは,説明出来ましたが、それと同様に説明してもらえませんか？
- asuncion
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基本的な定義に立ち返ろう。 cosθ = x / r sinθ = y / r tanθ = y / x
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