motari の回答履歴

下記の可換群でどれとどれとが同型,どれとどれとが非同型であるとどうやって判定すればいいのでしょうか? 位数が400である可換群は Z_{2^4}(+)Z_{5^2}, Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_5(+)Z_5, Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_5, Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_5(+)Z_5. Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_5(+)Z_5 Z_{2^4}(+)Z_5(+)Z_5, Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{5^2}, Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2}, Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_{5^2}, Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2}, Z_{2^4}(+)Z_{5^2} があると思います。 位数32である可換群は Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2, Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}, Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^3}, Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{2^2}, Z_2(+)Z_{2^4}, Z_[2^2}(+)Z_{2^3}, Z_{2^5} があると思います。 Z_{p^2}(+)Z_{p^3}の位数{p^2}の部分群は ({0mod{p^2}},Z_{p^2}),(Z_p,Z_p),(Z_{p^2},{0mod{p^3}})があると思います。

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(1)数列の一般項a_nについて 「a_n∈Ｖならばlima_nが存在し、その収束値をαとするとα∈Ｖ」となるような空間Ｖについて a_n,b_n∈Ｖのとき　 lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)∈Ｖ lim(k・a_n)=k・lim(a_n)∈Ｖ Ｖは数０を零元としてもち、-a_nを逆元として持つ　　　 などよりＶは実線形空間である (2)収束しないa_nを並べた集合、つまり数列{a_n}={a_1, a_2, ・・・}全体の集合をＶとする。ここでＡ=V∪{{0,0,0,・・・・}}とする。 （つまり上で定めたような数列{a_n}と数列{0,0,0,・・・・}を元としてもつ空間をＡとする） このとき{a_n}{b_n}∈Ａについて {a_n+b_n}={a_n}+{b_n} {k・a_n}=k{a_n}=k{a_1, a_2, ・・・}と定義したとき、Ａは線形空間となる。 (なぜなら、和やスカラー倍がうまく定義できており、 Ａは零元{0,0,0,・・・}と逆元{-a_n}={-a_1,-a_2,・・・}を持つから。) (3)実数列{x[n]}={x[0], x[1], x[2], ・・・}について、相並ぶk+1項のあいだに、 x[n+k]+a[k-1]x[n+k-1]+・・・a[1]x[n+1]+a[0]x[n]=0 なる関係、つまり漸化式が成立するようなもの全体の集合Ａは実線形空間となる。 なぜなら{x[n]}{y[n]}∈Ａについて {x[n]}+{y[n]}={x[n]+y[n]}={x[0]+y[0],x[1]+y[1],・・・} {k・x[n]}=k{x[n]}=k{x[0],x[1],・・・}と定義すれば Ａにおいて和やスカラー倍がうまく定義できており 実数列全体の集合Ｖにおける零元{0}={0,0,0,・・・}は与えられた漸化式を満たすので{0}∈Ａ 同様にＶにおける逆元{-x[n]}={-x[0],-x[1],・・・}は、与えられた漸化式を満たすので{-x[n]}∈Ａ などによりＡは実線形空間である この(1)(2)(3)の主張、自分で考えてみたのですが、正しいでしょうか？ 添削よろしくお願いしますm(_ _)m

線形代数の空間に関する名称の違い 線形代数を勉強しています。 ベクトル空間(vector space)、 線形空間(linear space)、 アフィン空間(affine space) の３つは同じものなのでしょうか。 また、 内積空間(inner product space)、 計量ベクトル空間(metric vector space)、 前ヒルベルト空間(pre-Hilbert space)、 ユニタリ空間(unitary space) の４つも同じものとして記述されているのをネット上で見かけたのですが、これらには違いがありますか。 別物だとしたら違いを、同じものだとしたらどのように使い分けられるのか教えてください。 その他にもノルム線型型空間、数ベクトル空間、ユークリッド空間、ヒルベルト空間、バナッハ空間と、様々な名前の空間があり、なかなか整理して理解できません。 特にノルム線型空間などは内積空間と区別がつかないのですが、やはり違う空間なのでしょうか。 たくさん考案されたのには、各々それなりの必要性や特色があると思うのですが、こういった空間はそれぞれどういった物理現象を記述する（または計算する）ために考え出されたのでしょうか。 基本的な質問かもしれませんが、どなたかご存じの方、よろしくお願いします。また、こういった空間についてまとまった記述のあるウェブサイト（日or英）などをご存じでしたら教えていただけると幸いです。

(1)数列の一般項a_nについて 「a_n∈Ｖならばlima_nが存在し、その収束値をαとするとα∈Ｖ」となるような空間Ｖについて a_n,b_n∈Ｖのとき　 lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)∈Ｖ lim(k・a_n)=k・lim(a_n)∈Ｖ Ｖは数０を零元としてもち、-a_nを逆元として持つ　　　 などよりＶは実線形空間である (2)収束しないa_nを並べた集合、つまり数列{a_n}={a_1, a_2, ・・・}全体の集合をＶとする。ここでＡ=V∪{{0,0,0,・・・・}}とする。 （つまり上で定めたような数列{a_n}と数列{0,0,0,・・・・}を元としてもつ空間をＡとする） このとき{a_n}{b_n}∈Ａについて {a_n+b_n}={a_n}+{b_n} {k・a_n}=k{a_n}=k{a_1, a_2, ・・・}と定義したとき、Ａは線形空間となる。 (なぜなら、和やスカラー倍がうまく定義できており、 Ａは零元{0,0,0,・・・}と逆元{-a_n}={-a_1,-a_2,・・・}を持つから。) (3)実数列{x[n]}={x[0], x[1], x[2], ・・・}について、相並ぶk+1項のあいだに、 x[n+k]+a[k-1]x[n+k-1]+・・・a[1]x[n+1]+a[0]x[n]=0 なる関係、つまり漸化式が成立するようなもの全体の集合Ａは実線形空間となる。 なぜなら{x[n]}{y[n]}∈Ａについて {x[n]}+{y[n]}={x[n]+y[n]}={x[0]+y[0],x[1]+y[1],・・・} {k・x[n]}=k{x[n]}=k{x[0],x[1],・・・}と定義すれば Ａにおいて和やスカラー倍がうまく定義できており 実数列全体の集合Ｖにおける零元{0}={0,0,0,・・・}は与えられた漸化式を満たすので{0}∈Ａ 同様にＶにおける逆元{-x[n]}={-x[0],-x[1],・・・}は、与えられた漸化式を満たすので{-x[n]}∈Ａ などによりＡは実線形空間である この(1)(2)(3)の主張、自分で考えてみたのですが、正しいでしょうか？ 添削よろしくお願いしますm(_ _)m

中学生です。まだ自分で読んだ程度なので未理解な部分もありますが、 自分で勝手に作った以下の話は解釈として正しいのでしょうか。 任意の正の数 ε に対し、ある正の数 δ が存在し、 0 < |x − a| < δ を満たせば、|f(x) − b| < ε が成り立つ。 これがイプシロンデルタ論法ですよね。 本には、εを適当に選んだら、δはそれに応じて選ぶもの と書いてあったんですが、つまりこれは、 δを一つ決めるときに行う計算（普通参考書には書いてない？）は、 0 < |x − a| < δが必要条件になり、 実際のイプシロンデルタ論法で行う証明では、必要十分条件であること を示そうとしている、と考えていいのでしょうか。 wikipediaにもあったんですけど、lim[x→2]x^2＝4を示すやり方 でも、おそらく|x^2-4|＜εからδ＝√(ε+4)-2を導いて、 証明では|x-2|＜δから|x^2-4|＜εを導いていますよね。 どこか勘違いしているようにも感じるんですが、 この解釈が正しいのかどうか、説明も兼ねてどなたか説明を お願いできませんか。よろしくお願い致します。

(1)数列の一般項a_nについて 「a_n∈Ｖならばlima_nが存在し、その収束値をαとするとα∈Ｖ」となるような空間Ｖについて a_n,b_n∈Ｖのとき　 lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)∈Ｖ lim(k・a_n)=k・lim(a_n)∈Ｖ Ｖは数０を零元としてもち、-a_nを逆元として持つ　　　 などよりＶは実線形空間である (2)収束しないa_nを並べた集合、つまり数列{a_n}={a_1, a_2, ・・・}全体の集合をＶとする。ここでＡ=V∪{{0,0,0,・・・・}}とする。 （つまり上で定めたような数列{a_n}と数列{0,0,0,・・・・}を元としてもつ空間をＡとする） このとき{a_n}{b_n}∈Ａについて {a_n+b_n}={a_n}+{b_n} {k・a_n}=k{a_n}=k{a_1, a_2, ・・・}と定義したとき、Ａは線形空間となる。 (なぜなら、和やスカラー倍がうまく定義できており、 Ａは零元{0,0,0,・・・}と逆元{-a_n}={-a_1,-a_2,・・・}を持つから。) (3)実数列{x[n]}={x[0], x[1], x[2], ・・・}について、相並ぶk+1項のあいだに、 x[n+k]+a[k-1]x[n+k-1]+・・・a[1]x[n+1]+a[0]x[n]=0 なる関係、つまり漸化式が成立するようなもの全体の集合Ａは実線形空間となる。 なぜなら{x[n]}{y[n]}∈Ａについて {x[n]}+{y[n]}={x[n]+y[n]}={x[0]+y[0],x[1]+y[1],・・・} {k・x[n]}=k{x[n]}=k{x[0],x[1],・・・}と定義すれば Ａにおいて和やスカラー倍がうまく定義できており 実数列全体の集合Ｖにおける零元{0}={0,0,0,・・・}は与えられた漸化式を満たすので{0}∈Ａ 同様にＶにおける逆元{-x[n]}={-x[0],-x[1],・・・}は、与えられた漸化式を満たすので{-x[n]}∈Ａ などによりＡは実線形空間である この(1)(2)(3)の主張、自分で考えてみたのですが、正しいでしょうか？ 添削よろしくお願いしますm(_ _)m

線形代数の空間に関する名称の違い 線形代数を勉強しています。 ベクトル空間(vector space)、 線形空間(linear space)、 アフィン空間(affine space) の３つは同じものなのでしょうか。 また、 内積空間(inner product space)、 計量ベクトル空間(metric vector space)、 前ヒルベルト空間(pre-Hilbert space)、 ユニタリ空間(unitary space) の４つも同じものとして記述されているのをネット上で見かけたのですが、これらには違いがありますか。 別物だとしたら違いを、同じものだとしたらどのように使い分けられるのか教えてください。 その他にもノルム線型型空間、数ベクトル空間、ユークリッド空間、ヒルベルト空間、バナッハ空間と、様々な名前の空間があり、なかなか整理して理解できません。 特にノルム線型空間などは内積空間と区別がつかないのですが、やはり違う空間なのでしょうか。 たくさん考案されたのには、各々それなりの必要性や特色があると思うのですが、こういった空間はそれぞれどういった物理現象を記述する（または計算する）ために考え出されたのでしょうか。 基本的な質問かもしれませんが、どなたかご存じの方、よろしくお願いします。また、こういった空間についてまとまった記述のあるウェブサイト（日or英）などをご存じでしたら教えていただけると幸いです。

私がいま使っている教科書に次のような記述がありました。 「実数列の全体は実線形空間である。 ただし{a_n}+{b_n}={a_n+b_n} {ca_n}=c{a_n}と定義する このうち、収束する数列だけを考えれば、解析学での周知の定理により ふたたび実線形空間がえられる。」 (1)実数列が実線形空間になるとありますが、証明がわかりません。 実線形空間の公理を一つ一つ確認するのでしょうが、数列ってどこまでも無限に続いていくのに、どうやって示すのですか？（たとえばa(x+y)=ax+ayなど・・） たしかに公理を満たしそうですが、このような無限につづくものに対しては自明としていいのですか。 (2)収束しない数列だけを考えても実線形空間になるんですよね？ なのにわざわざ収束するものだけを、特別に書いているのはなぜですか？なにか意味（うれしいこと？）があるのでしょうか。 解析学での周知の定理ってのも具体的になにを示しているのか・・。 どなたか解説よろしくお願いします。

私がいま使っている教科書に次のような記述がありました。 「実数列の全体は実線形空間である。 ただし{a_n}+{b_n}={a_n+b_n} {ca_n}=c{a_n}と定義する このうち、収束する数列だけを考えれば、解析学での周知の定理により ふたたび実線形空間がえられる。」 (1)実数列が実線形空間になるとありますが、証明がわかりません。 実線形空間の公理を一つ一つ確認するのでしょうが、数列ってどこまでも無限に続いていくのに、どうやって示すのですか？（たとえばa(x+y)=ax+ayなど・・） たしかに公理を満たしそうですが、このような無限につづくものに対しては自明としていいのですか。 (2)収束しない数列だけを考えても実線形空間になるんですよね？ なのにわざわざ収束するものだけを、特別に書いているのはなぜですか？なにか意味（うれしいこと？）があるのでしょうか。 解析学での周知の定理ってのも具体的になにを示しているのか・・。 どなたか解説よろしくお願いします。