可換群で同型・非同型の判定の仕方

質問

• 可換群で同型・非同型の判定の仕方について質問です。
• 位数が400である可換群と位数32である可換群の同型・非同型を判定する方法を教えてください。
• また、Z_{p^2}(+)Z_{p^3}の位数{p^2}の部分群についても教えてください。

回答No.5

motari · ベストアンサー

>m1 | m2 |...| mrはどういう意味でしょうか?
これはお察しの通りです。

>これら二つを組み合わせるとはどういうことでしょうか?
たとえば位数135の可換群は、1つめにより同型を除き

Z_{27} + Z_{5}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}

で尽くされます。ある事実に注目すれば、それぞれ

Z_{135}
Z_{3} + Z_{45} = Z_{9} + {15}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}

と同型であることがわかります。
このある事実は1つめから2つめを示すときにも使われますが、それが何であるかは既に答えも書いてあるので自分で考えてみてください。
数字をよく観察すれば絶対に分かります。

お礼

大変ありがとうございます。

>たとえば位数135の可換群は、1つめにより同型を除き

1つめとは何を指しているのでしょうか?

Z_{12} = Z_{2^2} + Z_{3}
Z_{6} + Z_{2} = Z_{2}^2 + Z_{3}
Z_{27} + Z_{5}=Z_{135}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{45} = Z_{9} + {15}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}

という関係になるんですよね。

「G = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr という表示が一意
(ただしm1 | m2 |...| mrである)」
つまり,
Gの直和分解はG = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr(ただしm1 | m2 |...| mrである) …(*) のものに限り,
それ以外の場合(m1 | m2 |...| mrとならない場合)は必ず(*)の形の直和分解と同型になる。
という主張なのですね。

Z_{12} = Z_{2^2} + Z_{3}
Z_{6} + Z_{2} = Z_{2}^2 + Z_{3}
Z_{27} + Z_{5}=Z_{135}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{45} = Z_{9} + {15}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}

から非同型のもの(代表直和分解とでも呼びましょうか)を選び出すと
位数12では
Z_12は,m1 | m2 |...| mrの確かめようが無いからとりあえず代表決定。
Z_{2^2} + Z_{3}は3|4ではなので代表落ち。
Z_{6} + Z_{2}は2|6となるので代表決定。
Z_{2}^2 + Z_{3}は3|4ではないので代表落ち。
Z_2(+)Z_2(+)Z_3は2|3とはならないので代表落ち。
よって 位数12の(非同型な)可換群はZ_12,Z_6(+)Z_2の2名。

位数135では
Z_{135}は無条件で代表決定。
Z_{27} + Z_{5}は5|27でないので代表落ち。
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}も3|5ではないので代表落ち。
Z_{3} + Z_{45}は3|45なので代表決定。
Z_{9} + {15}は9|45ではないので代表落ち。
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}は3|5ではないので代表落ち。
Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}は3|3|15なので代表決定。
よって位数12の(非同型な)可換群はZ_135,Z_3(+)Z_45,Z_3(+)Z_3(+)_Z_15の3名。

と「G = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr という表示が一意(ただしm1 | m2 |...| mrである)」
を用いて求めたつもりですがこのような解釈でよろしいでしょうか?