33550336 の回答履歴

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html の続きです。 ０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。 でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。 そこで、べき乗（累乗）の定義を 　ｘ＾０＝１ 　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 ＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ なお、常識的には…という話は、遠慮願います。 ＃Wikipediaも変わりますので。 これまでの議論で主張したこと： (1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。 (2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。 (3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外） (4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。 (5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。 (6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。 (7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。 (8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。 たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。 ＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

別の質問を見ていてふと思い出したのですが、 1 = √1 = √{(-1)×(-1)} =√(-1)√(-1)= i^2 = -1 という式を見たことがあります。わかりにくくてすみません。 どこがおかしいんでしょう……。

数学を趣味として始めました。 高校数学のI～III、A～Cはやりました。 大学数学の独学でできる参考書でオススメなのを教えてください。お願いします。

n=0,1,2,...について In=(-1)^n/n!∫[0→2]x^ne^x dx とおく。 ただし0!=1とする。 (1)In とIn_1の関係式を求めよ。 (2)0≦x≦2に対してe^x≦e^2であることを利用して、次の不等式を示せ。 　1/n!∫[0→2]x^ne^x dx≦2e^2(2/3)^n-1 (n=1,2,...) (3)極限　lim[n→∞]Σ[k=0→n](-1)^k2^k/k!を求めよ。 (1)はInを変形してできました。 (2)でe^x≦e^2からx^ne^x≦e^2x^n すなわち ∫[0→2]x^ne^x dx≦∫[0→2]e^2x^n dx を使おうと思ったのですが、1/n!と(1/3)^n-1が作れずできませんでした。 (3)はΣ[k=0→n](-1)^k2^k/k!＝(-1)^02^0/0!+Σ[k=1→n](-1)^k2^k/k! ＝1+Σ[k=1→n](-1)^k2^k/k!　となり(1)を利用できそうな感じがしたのですが、よくわかりませんでした。 よろしくお願いします。

n=0,1,2,...について In=(-1)^n/n!∫[0→2]x^ne^x dx とおく。 ただし0!=1とする。 (1)In とIn_1の関係式を求めよ。 (2)0≦x≦2に対してe^x≦e^2であることを利用して、次の不等式を示せ。 　1/n!∫[0→2]x^ne^x dx≦2e^2(2/3)^n-1 (n=1,2,...) (3)極限　lim[n→∞]Σ[k=0→n](-1)^k2^k/k!を求めよ。 (1)はInを変形してできました。 (2)でe^x≦e^2からx^ne^x≦e^2x^n すなわち ∫[0→2]x^ne^x dx≦∫[0→2]e^2x^n dx を使おうと思ったのですが、1/n!と(1/3)^n-1が作れずできませんでした。 (3)はΣ[k=0→n](-1)^k2^k/k!＝(-1)^02^0/0!+Σ[k=1→n](-1)^k2^k/k! ＝1+Σ[k=1→n](-1)^k2^k/k!　となり(1)を利用できそうな感じがしたのですが、よくわかりませんでした。 よろしくお願いします。

nが自然数でn＾n/n!≦e＾nとなることの証明。 任意の実数ｘに対し関数f(x)が常にf(x)=f(2x)を満たしており、 x=0で連続であるとき、f(x)が常に定数であることを示せ。 大学の教科書に書いてあった問題です。詳しい証明お願いします。

「三角形をどのように三角形に分割しても、細分三角形の面積の和は元の三角形の面積になる」 　　[証明]帰納法を用いる。 ｎ＝２のとき成立。 ｎ＝ｋのときに成り立つと仮定する。 ｎ＝ｋ＋１のときｎ分割された分割三角形のどれか一つを２分割すればよい。 三角形を２分割するには、ある頂点から対辺へ１本線をいれればいい。 ２分割に分割されてできた２つの三角形の和はもとの三角形の和になるので、 ｎ＝ｋ＋１のときも成立　　　■ 自分なりに証明してみました。添削お願いします！

【オイラーの公式のｅとｉについて】　虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい。 お願いします。 数年前に「オイラーの贈り物」（だったかな？）という本に出会いまして、 　exp（ｅ，ｉπ）＝－１　　　・・・（ア） の式の意味を理解したくなりました。 　exp（ｅ，ｉ・θ）＝ｃｏｓ（θ）＋ｉ・sin（θ）　　・・・（イ） （イ）の式で、θ＝０　の時に（ア）が導かれるのはわかりました。 しかし、指数関数の指数部が虚数になっている、ということが感覚的になじめません。というか、理解できません。 公式を導く過程を読んでも、「実数の虚数乗」には違和感がぬぐえません。アレルギーかもしれません（笑） ４年制大学を卒業（しかも理系）した者として恥ずかしいのですが、いい年したオヤジの錆付いた脳みそにも浸透する、 易しくて、いや優しくて、キラリと光る解説は望めませんでしょうか。 まことに厚かましいお願いですが、皆様の知恵をお貸しください。

x+y=1、3x+4y=1、ax+by=1が1点で交わるとき、(1,1)、(3,4)、(a,b)は同一直線上にあることを証明せよ。 という問題ですが、解説がいまいち詳しくなかったので質問してみました。 交点を(α,β)と置き、直線αx+βy=1上に3点が存在すると考えるとよいみたいなことが書かれていたんですが、これだけでは不十分じゃないでしょうか？

x+y=1、3x+4y=1、ax+by=1が1点で交わるとき、(1,1)、(3,4)、(a,b)は同一直線上にあることを証明せよ。 という問題ですが、解説がいまいち詳しくなかったので質問してみました。 交点を(α,β)と置き、直線αx+βy=1上に3点が存在すると考えるとよいみたいなことが書かれていたんですが、これだけでは不十分じゃないでしょうか？

位相多様体や代数多様体や微分多様体など色々な多様体がありますが 単に多様体の定義は?と聞かれれば 「座標系に依存せず、四則演算の自由にできる代数的構造を備えた集合」だと思います。 Aが多様体 ⇔(def) ∃+,・:A×A→Aで (i) +について可換群をなす。 (ii) ∀a,b,c∈A,(ab)c=a(bc) (iii) a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca (iv) (単位元の存在)∃e∈A＼z;∀a∈A,ea=ae=a (zは零元) (v) (・に関しての逆元の存在)∀a∈A,∃b∈A;ab=ba=e (vi) (・に関して可換)∀a,b∈A,ab=ba で(i),(ii),…,(vi)のみだとただ単に可換体の定義ですよね。 この他に"座標系に依存せず"の条件を追加すればいいのですね。 "座標系に依存せず"の条件を上記(i),(ii),…,(vi)のように数式で表現するとどのようになりますでしょうか?

先ほどは質問悪かったです。すみません。 ∫（tanX+1)^3 dx の解答をおしえてください。 (tanX+1)=tとおいたらいけませんか？ 理解が浅いのでどうしても解けません。 学校のプリントの問題なんですが、答えには1/4(tanX+1)^4+C になってます。 一行で解答してあるので、どのようにしてこうなったのかがわかりません。 ほんとうにこの答えであってるのでしょうか？　誰かわかる人いたら教えて下さい。 お願いします。

勉強しているにも関わらず、新しい問題に挑戦しても全然解くことができず、苦戦しています。 問 Ａ地点の下流にあるＢ地点へ時速２５ｋｍのボートで行って帰ってくる。行きには２０分、帰りには３０分の時間を要した。川の流れは時速何ｋｍか。 段階１ かかった時間がわかっているから、それを比に表して ２０：３０（時間）→３：２（速さ） 段階２ 時速を分単位にする必要があるので、６０でわる→１２５／３。 段階３ 川の流れをＡとして、 （１２５／３）＋Ａ：（１２５／３）－Ａ＝３：２ 段階４ …あれ？もうこれ以上どうにもできないなぁ。 じゃー、次の解き方に挑戦。 段階１ 流速＝（下りの速さ－上りの速さ）÷２　なので、 （３－２）÷２＝０．５ 段階２ 答えは０．５だ!!……あれ？解答をみたら違う…… せっかく公式通りにやったのに、結局答えが出せないんです。どうして、公式通りにやっているのに答えが出ないんですか？この問題に限らず、公式通りにやっても、必ず途中で行き詰るｏｒ答えが出ても解答を違うんです。

勉強しているにも関わらず、新しい問題に挑戦しても全然解くことができず、苦戦しています。 問 Ａ地点の下流にあるＢ地点へ時速２５ｋｍのボートで行って帰ってくる。行きには２０分、帰りには３０分の時間を要した。川の流れは時速何ｋｍか。 段階１ かかった時間がわかっているから、それを比に表して ２０：３０（時間）→３：２（速さ） 段階２ 時速を分単位にする必要があるので、６０でわる→１２５／３。 段階３ 川の流れをＡとして、 （１２５／３）＋Ａ：（１２５／３）－Ａ＝３：２ 段階４ …あれ？もうこれ以上どうにもできないなぁ。 じゃー、次の解き方に挑戦。 段階１ 流速＝（下りの速さ－上りの速さ）÷２　なので、 （３－２）÷２＝０．５ 段階２ 答えは０．５だ!!……あれ？解答をみたら違う…… せっかく公式通りにやったのに、結局答えが出せないんです。どうして、公式通りにやっているのに答えが出ないんですか？この問題に限らず、公式通りにやっても、必ず途中で行き詰るｏｒ答えが出ても解答を違うんです。

大学の三回生です。 多様体に関する質問なのですが、下記の問題がわかりません。 4 次元ユークリッド空間R^4 の部分集合M を次で定める． M = {(a, b, c, d) ∈ R^4 | a^2−b^2+c^2−d^2 = 1, ab+cd = 0}. M は，C∞ 級微分可能多様体R4 のC∞ 級部分多様体であることを示せ． という問題です。 微分可能多様体の定義はわかるのですが、どのように示せばよいかわかりません。 どなたか解答もしくは解説お願いします。