材料力学

質問

図1に示す左右対称の型断面を有するはりに正の曲げモーメントが作用するときに生じる最大引張応力を最大圧縮応力の1/3にするために,下記の問いに答えよ,ただし,z軸は中立軸,b以外の寸法は図の通りとする.
(1)断面の図心Cの位置y。を求めよ.
(2)はりの幅bを求めよ.
(3)曲げモーメントを1000Nmとしたとき,曲げ応力分布を求めよ.

コロナでオンラインのため、聞く友達がいなくて、この問題が全然わからないので、解説していただからと本当に助かります。

回答No.2

ddtddtddt

#1です。訂正します。

　材料が一様な場合、断面2次モーメントＩの公式は以下です。

　　Ｉ＝∑ (部材の断面2次モーメント＋部材断面積×(部材重心位置－z)^2)

　従って、

　　Ｉ＝(15625/12)×b＋10546875/12＋25b×(87.5－z)^2＋1875×(37.5－z)^2　　　(2)

となります。^2を書き洩らしました(^^;)。すいません。

回答No.1

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材料が一様である場合に話を限ります。材料が一様である場合、中立軸は断面重心を通ります。そこで最初に重心位置を求めます。まず断面重心位置には、

　　∑ 部材質量×(yc－部材重心位置)＝0

という公式があります。ここでycは重心位置です。添付図の図-1のようにy座標をとります。
　材料が一様な場合、部材質量はその断面積に比例するので、上記は、

　　∑ 部材面積×(部材重心位置－yc)＝0

でOKになります。
　いまT型断面にはフランジとウェブの2つの矩形部材があり、それぞれの重心位置はy＝87.5，37.5です。断面積はそれぞれA＝25b，1875（＝75×25）なので、

　　25b×(87.5－yc)＋1875×(37.5－yc)＝0

　これをycについて解けば、

　　yc＝(2187.5b＋70312.5)／(25b＋1875)　　　(1)

となり、中立軸位置z＝yc。
　次に曲げ応力を求めるためには、断面2次モーメントの計算が必要です。材料が一様な場合、断面2次モーメントＩには次の公式があります。

　　Ｉ＝∑ (部材の断面2次モーメント＋部材断面積×(部材重心位置－z))

　矩形断面の断面2次モーメントの公式 (1/12)×bh^3 はご存じでしょう。bは矩形幅，hは矩形の高さです。フランジとウェブの部材断面2次モーメントは、

　　フランジ：(1/12)×b×25^3＝(15625/12)×b，ウェブ：(1/12)×25×75^3＝10546875/12

∴
　　Ｉ＝(15625/12)×b＋10546875/12＋25b×(87.5－z)＋1875×(37.5－z)　　　(2)

　最大曲げ応力は、曲げ応力の公式、

　　σ＝(M／Ｉ)×d　　　(3)

で計算できます。Mは断面への作用モーメント，dは中立軸から断面の上下縁への符号付距離です。ここでMの正負の方向が問題になりますが、添付図のようなy軸をたてるように指示されているので（重心位置は下縁からの距離）、正の曲げモーメントは添付図の図-2の方向でしょう。上縁距離が正で下縁距離が負なので、曲げモーメントの方向に一致します。上縁が最大引張応力，下縁が最大圧縮応力になります。
　(3)より最大引張応力と最大圧縮応力は、中立軸からの縁端距離dに比例します。いま最大引張応力は最大圧縮応力の1/3という条件があるので、中立軸z＝ycは断面の全高100を、1：3に分割する位置です。従ってyc＝75となり、(1)から、

　　(2187.5b＋70312.5)／(25b＋1875)＝75　　　(4)

　(4)をbについて解けば、bが求まります（整理すれば、1次方程式(^^)）。後は(2)に求めたbを代入してＩを算出し、(3)に算出したＩとM＝1000 Nm（← N･mm じゃないですか？）を用いて、最大引張応力と最大圧縮応力の数値を出すだけです。梁理論において断面上の応力分布は、最大引張応力と最大圧縮応力を結んだ、直線分布と決まってますよね？(^^)。