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x^4+y^4
x+y, x^2+y^2, x^3+y^3 はみな整数だが x^4+y^4 は整数ではない、をみたすような 実数 x, y の例ってどんなものがありますか?
- Marico_MAP
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x = 1/√2 , y = -1/√2 とすると x + y = 0 xx + yy = 1 xxx + yyy = 0 ですが xxxx + yyyy = 1/2 となります。 見つけ方としては、 xx + yy = (x + y)^2 - 2xy xxxx + yyyy = (xx + yy)^2 - 2 xy xy に注目して、 2xy は整数だが 2 xy xy は整数でないような組を考えました。
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- tmppassenger
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> x+y, x^2+y^2, x^3+y^3, x^4+y^4 > がすべて整数であれば、任意の自然数 n で > x^n+y^n は整数である、と言えますか？ どこまで考えましたか？
お礼
また時間があれば考えてみます。
- staratras
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単純化して例を探してみました。 まず「天の声」からy=-x とします。 このとき x+y=x^3+y^3=0 (整数）です。 x^2+y^2=2x^2、x^4+y^4=2x^4 なので 2x^2は整数だが、2x^4は整数でない x^2を見つければよい。 x^2が1/2の奇数倍、つまりnが負でない整数で x^2=(2n+1)/2 ならば 2x^2=(2n+1)、 2x^4=2n^2+2n+1/2 となり題意を満たします。 x=±(√((2n+1)/2）、y=∓(√((2n+1)/2）(複合同順）です。 n=0 なら (x,y)=(±1/√2,∓ 1/√2）(複号同順） n=1 なら (x,y)=(±√3/√2,∓ √3/√2）(同）… 以下いくらでもあります。
お礼
ありがとうございました。 納得いたしました。
補足
x+y, x^2+y^2, x^3+y^3, x^4+y^4 がすべて整数であれば、任意の自然数 n で x^n+y^n は整数である、と言えますか？
- asuncion
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x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xyが整数で、 x + yが整数であるから、xyは整数である。 このとき、 x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 は整数 - 整数の形をしているから整数である。 よっておたずねの例は存在しない、というのが当方の見解です。 正しいか間違いかはわかりません。
お礼
ありがとうございます。
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