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x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は、x=4,y=2以外にありま
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自然数の範囲で、やってみよう。 xのy乗 = yのx乗 = z が成立しているとする。 z の素因数分解を考えれば、 x と y の素因数は共通であることが解る。 素因数 p の x における指数を a、 y における指数を b と置くと、 p の z における指数から ay = bx である。 x ＞ y ＞ 0 より、a ＞ b と解る。 これが各 p で成り立つから、 x は y で割り切れる。 x = ky と置く。 x ＞ y より、k ＞ 1 である。 ここで、最初の式に戻ると、 zのy乗根 = kx = yのk乗 が成り立つ。 D(n) = (yのn乗) - ny と置くと、 任意の y に対して D(1) = 0 であるが、 y ＞ 2 のときは、D(n+1) - D(n) = (y-1)(yのn乗) - y ＞ (yのn乗) - y ≧ 0 だから n ＞ 1 で D(n) ＞ 0 となる。 従って、D(k) = 0 となる解があるのは、 y ≦ 2 に限られる。 y = 2 の場合を解く際も、 上記の考えをたどって、k = 2 に絞られるから、 (x,y) = (4;2) のみが得られる。 y = 1 を代入すると、x = 1 となって、 x ＞ y より、これは解でない。
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
話を整数の範囲に広げる。 x または y の一方が負であれば、 ｜z｜ ＜ 1 より、他方も負である。 x = -u, y = -v で置換すると、 uのv乗 = vのu乗 かつ u,v の偶奇は一致 と変形できて、自然数の場合に帰着される。 ここから、No.1 の解が出る。
- obonobono
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ｆ（ｘ）＝(logx)/xのグラフを描いてみれば、 ｘ＝４、ｙ＝２以外はないでしょう。 そこで、あえて、整数解ではありませんが、近似解で ｘ＝７．４ ｙ＝１．５を見つけてみました。 ７．４＾１．５＝２０．１３０２ １．５＾７．４＝２０．０９４４
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>x^y=y^x (x>y)を満たす整数解 ..... ひとまず、f(x) = x^(1/x) = e^{(1/x)*LN(x)} のグラフでも描いてみてください。 f(x1) = f(x2) を満たす整数解 x1≠x2 は、{2, 4} のペアだけですね。
- ta20000005
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x=-2,y=-4 f(x)=log(x)/x の利用が一般的だと思う。
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c; 9362 x^4+37451 x^3 y-90567 x^3+7914 x^2 y^2+274429 x^2 y-31214 x^2-1597 x y^3+160573 x y^2-94673 x y+6905 x-882 y^4+28793 y^3+51902 y^2-3695 y-650,9362 x^4+37451 x^3 y-90567 x^3+7914 x^2 y^2+274429 x^2 y-31214 x^2-1597 x y^3+160573 x y^2-94673 x y+6905 x-882 y^4+28793 y^3+51902 y^2-3695 y-650=0 c 上 の全ての整数解をお願い致します。
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c; 9362 x^4+37451 x^3 y-90567 x^3+7914 x^2 y^2+274429 x^2 y-31214 x^2-1597 x y^3+160573 x y^2-94673 x y+6905 x-882 y^4+28793 y^3+51902 y^2-3695 y-650,9362 x^4+37451 x^3 y-90567 x^3+7914 x^2 y^2+274429 x^2 y-31214 x^2-1597 x y^3+160573 x y^2-94673 x y+6905 x-882 y^4+28793 y^3+51902 y^2-3695 y-650=0 c 上 の全ての整数解をお願い致します
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