解析力学が得意な方に質問です。

質問

解析力学が得意な方に質問です。

ダランベールの原理からオイラーラグランジュ方程式の導出、および変分原理からオイラーラグランジュ方程式の導出を、専門書など一切何も見ずにできるのですか？

あと、ゴールドスタインの古典力学の第5章 剛体の運動方程式をさくっと理解できなければ、量子力学を理解するのは無理ですか？

回答No.3

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#2です。

　じつは自分も古典力学を仕事で使います。というか、ほぼ静力学しか使わない土木という3K職場です(^^;)。というわけでもともと静力学における仮想働の原理や、最小エネルギー原理を十分に学ぶ機会に恵まれました。有限要素法（FEM）という数値計算法があります。私の分野ではけっこう不可欠な技術なのですが、その定式化に最小エネルギー原理、つまり変分法が使われます。
　「変分法をさくっと理解してやろ～ぜ」と安易に数学書に手を出したところ、関数の距離？，距離空間??，関数空間???，位相空間????，・・・と手も足も出ない始末(^^;)。そこで動力学も静力学と同じ力学だよねと、自分のレベルに適当な力学書を探していたところ見つけたのが、ゴールドスタインの古典力学です。その変分の扱いを見て、これはなんとかなりそうだと。
　読んで気づいたのが、概ね「最小エネルギー原理 ⇔ 変分法 ⇔ 仮想働の原理」という事でした。これにより静力学原理を本質的に理解できた気がしました。で、ラグランジュ形式の定式化を読み進めると、意外な事に静力学と同じじゃん！となったわけです(^^)。ダランベールの原理で、運動系を仮想静止系に直すだけだと。しかし御多分に漏れず、自分もラグラジアンの意味と正体が気になって仕方ありません。導けるんだけど納得できない。「いったい昔の人達は、どうやってこんな物を考えついただ？」「アイデアの源泉は何だ？」・・・。

　物理学史を読むことにしました。一番面白かったし役にも立ったのが、山本義隆の「重力と力学的世界」です。山本義隆は湯川秀樹に「100年に一人の逸材」と言わしめた事で（一部で）有名です。この本には数式もふんだんに出てきますが、数式を解読しなくてもまさに力学思想を理解できました。昔の人達が、どう考えて理論を作ったのかが。この本は30年以上絶版になっていないロングセラーです。
　マニア魂に目覚めて次に手に取ったのが、広重徹の「相対論の形成」（こちらはマニアすぎて絶版）。広重徹は、日本の物理学史研究を世界レベルの一級品に推しあげた第一人者です。続けてこれを読んだのは幸運でした（これも数式は半ば以上無視(^^;)）。「重力と力学的世界」の最終章では、19世紀に電磁気学と軋轢を起こした力学的世界観がエーテル問題を経て、短命な電磁気学的物質観に移行し、やがてそれも破棄されて行く過程がドラマチックに語られます。「相対論の形成」は、その世界観・物質観の変遷が相対性理論へと、どうつながって行くのかを詳細に教えてくれます。
　力学と相対論だけじゃどうもね・・・電磁気学なんか全然知らないし。という事で物理全般の歴史が書いてあるフントの「思想としての物理学の歩み」（絶版！）。フントは前世紀前半の碩学です。ファラデーがベタ褒めされているのに驚きました。
　マッハの「力学の批判的発展史」（たぶん絶版してない）。音速のマッハ単位で有名な人。マッハは退屈だったけど役に立ちました。数学や物理教育も整備されておらず、電卓もPCもなっかった時代の人達の発想が克明に描かれます。頭いいですよ、昔の人達は！。
　井関清，近藤基吉の「現代数学 成立と課題」「近代数学史」なんかも読みました。数学者の経歴についてはよく知りません。マニアすぎて絶版につぐ絶版！。

　自分は大学以上の高等教育についてはほぼ独学です。大学には行きましたが、バイトの方がメインでしたので(^^;)。歴史を読んで思ったのは、非常に効率は悪いですが理論の動機と目的を知ると、昨日までさっぱりだったものでも、目から鱗が落ちる瞬間があるという事です。

　たとえばランダウの力学は力学のエッセンスが書かれてます（エッセンスしか書かれてない）。最小作用の原理と変分ありきで始まり、ダランベールと仮想働原理はダの字もなし。最小限の自由度で運動を記述するのは当然とされ、抗力と摩擦力は端から相手にしてないのでラグランジュの未定定数法なし。ラグランジュ方程式の座標不変性は、変分原理から出発して自明なので一言もなし。自明だからわかれ！・・・と。
　おかげでゴールドスタインでは50ページも費やしたところが、わずか2ページ。両方とも章立てはほぼ同じなのに、ゴールドスタインは500ページ×2分冊、ランダウは100ページくらい。そのため最初の数ページで撃沈する学生も多いようですね(^^;)。

回答No.2

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(1)ダランベールの原理の周辺
　「ダランベールの原理」はふつう「仮想働の原理」とペアで現れます。

　「ダランベールの原理」と「仮想働の原理」には原型がありまして、動力学よりも先行して研究された物体の釣り合い方程式を導く静力学で、まず「仮想働の原理」が登場します。「仮想働の原理」は「最小エネルギー原理」と同等です。という事はそもそも、何かを最小化するという目的意識があったわけです。そして「仮想働の原理」の計算自体は、変分法と同等です。
　静力学がいちおう決着した段階で動力学は？となり、動力学を静力学に帰着して考えるために「ダランベールの原理」が現れ、「全ての運動系は仮想静止系とみなすことができるよ」と事態を考えやすくする役目を担っています（本当にわかりやすのかなぁ～？(^^;)）。その結果が静力学の「最小エネルギー原理」に対応する、「最小作用の原理」だったわけです。

　「仮想働の原理」の目的は摩擦のない世界では、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーで物事は決まるという事を示すのが目的です。それは静力学でも同じです（運動エネルギーがないだけ）。古典力学はもともと惑星の運行理論として始まりました。そこには摩擦や減衰は存在しません。自分はこれを勝手に、純粋な古典力学と呼んでます(^^;)。
　しかし摩擦や減衰が存在しなくても、質点がある軌道や面に束縛されれば、束縛軌道や束縛面から何らかの力を受けるはずです。「力学的エネルギー＝運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー」は成り立つのか？、という疑問が生じます。これは当時の実際上の問題でニュートン力学を、今でいえば機械力学などに応用しようとしたからです。そこでの仮定は「摩擦力や減衰力は速度方向にしか働かない」です。これは経験的に妥当です。
　「摩擦力や減衰力は速度方向にしか働かず」、もし「摩擦や減衰がない」なら、束縛軌道や束縛面から受ける力は、それらに直交する法線方向の抗力だけになります。ここで「ダランベールの原理」により運動系を仮想静止系に帰着させ、静力学と同じ過程を踏んで「仮想働の原理」により、束縛軌道や束縛面に直交する抗力は仕事をしない事が示されます。何故なら質点の速度方向は、束縛軌道や束縛面の接線方向で接線は法線と直交するからです。これって束縛軌道や束縛面の定義じゃないですか(^^)。
　そして垂直抗力が仕事をしない、つまり力学的エネルギーには影響しないとわかった途端、「ダランベールの原理」と「仮想働の原理」は「お役御免！」と、退場します。そういうわけで、「ダランベールの原理」と「仮想働の原理」に必要以上にこだわる必要はない、というのが自分の意見です。

　しかし事態は、それで済まないんですよ(^^;)。

　「ダラ」と「仮想」が退場した直後に、明確な理由も述べられないまま、すぐにこう続きます。

「しかし我々は、運動の自由度を考える必要がある。例えば質点が円軌道に束縛されるなら、円軌道の半径rは一定なのだから、その質点運動の記述は(x，y)の2自由度ではなく、円軌道の中心を原点とした角度θを用いる1自由度系として記述すべきだ」・・・と(^^;)。

　でも考えてみてください。質点ｍに外力fが働き、ｍが円軌道に束縛され、かつ摩擦や減衰がないなら外力fによる自由な加速運動を妨げるのは、円軌道からの垂直抗力Dだけです。
　という事は質点ｍの運動を、(x，y)記述の2自由度表現で円軌道にとどめるために抗力Dを導入するのか、Dを導入せずに半径rの円軌道上の運動を記述するθの1自由度表現を選ぶのかは、まったく同等です。表現の違いに過ぎません（系のエネルギーは変わらない）。
　そして解析力学は、明らかに後者の方を選びます。つまり「最小限の自由度で運動を記述するよ」と決めた瞬間、ここが「ダラ」と「仮想」の正式な退場タイミングです。わかりにくいですよね。大学の先生達、ちゃんと説明してよ。

(2)オイラー・ラグランジュ方程式
　ところで「最小限の自由度で運動を記述する」と決めると、たとえば(x，y)座標から極座標への運動方程式の変換などが頻繁に起こります。この変換はベクトル変換なので、ベクトルの図を眺めながらのかなり大変な作業です。そのうえ多自由度系ともなると、絵にも描けない事態になります。少なくともトーシロには全く不可能。そこでバカチョン方式が求めらました。小数点計算の足し算と掛け算のように、一定規則に従うだけで必ず正解に到達できる方法が。小数点計算も300年前は、大学で教えられるような高等数学でした。

　「仮想働の原理」は退場しましたが、その結果は残っています。その形を眺めるとd/dt(∂L/∂v)という項をひねり出す変形を思いつくのに、ちょうど良い形になってます。とはいえ初見でd/dt(∂L/∂v)は、「なんだこりゃっ？」って思ったはずです。そうです、普通は思いつけません。変分計算を知らないと。そして「仮想働の原理」は「変分法」と同等でした。そしてオイラーとラグランジュ、とりわけオイラーさんは変分法の開発者の一人です・・・(^^;)。
　しかもオイラーさんは、変分にまつわる不要な神学論争を避けるために、変分計算にはふれずにd/dt(∂L/∂v)をひねり出したと思われます。変分計算を表に出さないかわりにやった事は、座標変換に対するラグランジュ方程式の不変性の証明です。あの面倒くさい座標の書き変えですよ。しかしこれも、変分を知ってれば自明です。わかりにくいわけです。
　ただしオイラーは、運動方程式に従う運動で作用積分が最小になる事を確認しています。絶対に知ってたのにやらなっかった確信犯です。

(3)変分原理
　変分原理を正式に言ったのはハミルトンだと思います。もともと何かを最小にする、という意識があったわけです。変分法が十分に普及すれば、「変分原理」すなわち「最小作用の原理」に誰かが気づくのは時間の問題だったと思われます。
　ハミルトンの正準形式も実用上（？）の計算問題を解くためでした。惑星運行の多体問題の近似的な形式解が目的です。そこで現れたのが、摂動法，正準変換，ハミルトン・ヤコビ方程式などなど・・・(^^;)。

　現在の力学の教科書は、けっこう歴史的経緯に忠実だと思います。

(4)剛体の運動方程式をさくっと理解できなければ・・・
　ラグランジュ形式，ハミルトン形式が現在でも重宝されるのは、その計算能力の高さのためだけでなく、座標変換に関する不変性のためです。現在の物理は、小さすぎて目には見えない対象（素粒子）や、大きすぎて見渡せない世界（宇宙）、本当に見えないものまで扱います（ダークマター）。直感的に目に見えるところは、あらかたやっつけたわけです。そこでは実験や観測によって手がかりを得るのが非常に困難です。じっさい実験はたいてい検証実験であり、理論の後追いになってますよね？。
　前世紀の初頭にアインシュタインはそうとは意識せずに、一つの方法論を与えました。物理法則の不変性という考えです。つまり座標変換しても物理法則は変わらない。ラグランジュ形式，ハミルトン形式に載るはずだと・・・。現在では系の内部自由度（量子のスピンなど）まで考えての座標変換にはなりますが。
　ラグランジュ形式，ハミルトン形式に載るのが正しい物理法則なのだとすると、座標変換に対する不変性という数学原理を手がかりとして研究できます。それがゲージ理論です。もっとも自分は、ゲージのゲの字も知りませんが。

　「ゴールドスタインの古典力学の第5章 剛体の運動方程式をさくっと理解できなければ、量子力学を理解するのは無理ですか？」

　さくっと理解できなくても、理解すれば良いだけの話だと思います。量子力学の質的な難しさは、不確定性原理の物理的意味の理解の方だと思います。ハイゼンベルグのγ線顕微鏡の話をふつう不確定性原理と言いますけれど、あれは不確定性原理ではなく、古典測定に対する反例に過ぎないというのが自分の意見です。
　そこを突破しても、シュレーディンガー方程式や行列力学を扱いは、数学的に十分にメンドーイですけれど・・・(^^;)。

お礼

詳細にかつわかりやすく教えて頂き大変ありがとうございます。すべてじっくり拝読させていただきました。とても勉強になりました。一番気になるのが、回答者様はそのような本質的な理解をどのようにしてされたのですか？いろんな本を読んで勉強しないとそれくらいまで理解できないのでしょうか？それともゴールドスタインの本だけを何度も読み込めば、回答文に書かれたような知識が身につくのでしょうか？回答者様のレベルに達するためには、どうすれば良いでしょうか？古典力学は仕事でもこれからよく使うので極めたいです。どうすればそこまで極められるのでしょうか？

回答No.1

hahaha8635

IQ300超えれば　理解できるかもしれない

世界一IQが高いとされた人
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%83%90%E3%83%B3%E3%83%88

一目で解いて
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
世界中の学者が反論したが　結局彼女の言う通りだった

お礼

モンティ・ホール問題、面白いですね。2/3が正解であると納得するまで10分掛かりました^^;初めから2/3だと解った彼女は相当凄いですね。