- 締切済み
多項式の積が同次にならない
178-tallの回答
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
引用の「証明」は小面倒で、わかり難い。 ２つの多項式 f, g は変数の積の一次結合で与えられているのだろうから、単純に「分配律」を使い f, g の積を展開してみれば、「２つの多項式のうち、少なくとも１つが同次でないとき、その積が同次でない」ことぐらい、すぐに判りそう …。
関連するQ&A
- 同次式の因数分解
多項式ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が同次式でｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）というふうに多項式の積に分解できたらｇもｈも明らかに同次式になるとあったのでその証明を考えています。 ｆがｎ次式のときはｎ＝ｌ＋ｍ（ｌ、ｍは非負整数）としてｇをｌ次式、ｈをｍ次式とします。ｇの最小次数の項がｊ次、ｈの最小次数の項がｋ次とすると、ｇ＝ｊ次の項＋（ｊ＋１）次以上の次数の項、ｈ＝ｋ次の項＋（ｋ＋１）次以上の次数の項となって、ｇｈを展開すると最小次数はｊ＋ｋ次で、ｇのｊ次の項とｈのｋ次の項の積以外にないのでｇのｊ次の項＝０、ｈのｋ次の項＝０です。以下同じ手順をくりかえしていくとｇとｈの最小次数の項がそれぞれ次々に０になっていってｇにはｌ次の項だけ、ｈにはｍ次の項だけしか残りません。 これで証明できてると思うんですが、何となくダサいのでもっとすっきりした方法があれば教えてください。 ちなみにｆがｎ次の同次式というのはｆが複素係数の３変数の多項式でｆ（λｘ，λｙ，λｚ）＝（λのｎ乗）ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が任意の複素数λについていえていることとします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ax²+bxy+cy²,(abc≠0)この多項式は
ax²+bxy+cy²,(abc≠0)この多項式は次数2の斉次式だそうですが、どのようにして第2項bxyの次数が2であると見なすのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同類項と多項式の次数について
x^3-2ax^2y+4xy-3by+y^2+2xy-2by+4a という多項式の同類項をまとめて整理せよ。 同類項をまとめて整理すると x^3-2ax^2y+6xy+y^2-5by+4a となるそうですが、なぜ次数が最も高い-2ax^2yが一番前に来ないのでしょうか？ 次に、この多項式をxとyに着目すると3次式になると思うのですが、 x^3はxが3回掛けられているので次数は3 -2ax^2yはxが2回、yが1回掛けられていて、指数の和が3なので次数は3 という考えでいいのでしょうか？ また、例えばx^5+x^3y^3という多項式なら、x^3y^3の指数の和から次数は6になると思うのですが、x^5+x^2y^2という多項式の場合、xの次数が5なので多項式の次数も5ということでいいのでしょうか？ それともxとyが両方含まれている項から多項式の次数を導かなければならないのでしょうか… 初歩的な問題だとは思いますが回答をお願いします <(_ _)>
- 締切済み
- 数学・算数
- 多項式を誤解している？
多項式f(x)を求める問題で 条件の一つに x^4f(1/x)=f(x) をf(x)は満たすという条件がありました n>4の範囲では右辺が多項式であるのに、左辺は多項式とならないから、矛盾する よってf(x)の次数は4以下となる(背理法による証明) …と模範回答にあるのですが 多項式って 例えば f(x)=ax^4+b^3+c^2+dx+e みたいなやつですよね？ f(x)=a/x+b+cx+dx^2+ex^3 みたいな分数型が入った式は多項式じゃないんですか？ 多項式って中学生で習うのに、全然理解できてない自分にショックを受けてます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 多項式の次数と定数項
数学の教科書に次の多項式において次の文字に着目した時の次数と定数項を答えよという問題があるのですが、詳しい解説が教科書にほとんどなく、定数項の求め方はわかるのですが、この場合の次数の求め方がわかりません。 たとえば教科書に 多項式x２条y+3ax+bの次数と定数項を求める。 １ xに着目すると,次数は2,定数項はb ２ yに着目すると,次数は1,定数項は3ax+b ３ xとyに着目すると,次数は3,定数項はb という例題が載っているのですが、それぞれ定数項は求められるのですが、次数の求め方がわかりません。 どなたかお分かる方いらしゃいましたら、おしえていただけないでしょうか。 ※記号でx二条と書きたかったのですが、エラーになるので漢字で書きました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同次交代式、反対称？
http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=596464 #3の回答者の解説で、わからないところがありました。 ＞a、b、cを３辺の長さとする三角形がある。 ＞a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=0 ＞が成り立つとき、この三角形はどんな三角形か。 ----------------------------------------------------------------------- ＞左辺を f(a,b,c)とおくと， ＞f(a,b,c)は任意の２文字の交換に対して反対称で， ＞[∵f(b,a,c)=－f(a,b,c)など] ＞a,b,cの３文字に関する４次の同次交代式です． ＞するとf(a,b,c)は差積(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れて，これは３次なので，あと１次の ＞a,b,cの対称式との積になるので，それは k(a+b+c) (kは０でない定数) ＞f(a,b,c)＝k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (kは０でない定数) ＞と書けます．これを与式と係数比較して，例えばaについてa^3の項の係数を見れば ＞k＝－１と決まり，結局 ＞f(a,b,c)＝－(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) ＞（要するに因数分解すれば，途中は不要．） ・ ・ ----------------------------------------------------------------- (a-b)、(b-c)、(c-a)を因数に持つことはわかります。 ＞１次のa,b,cの対称式との積になるので，それは k(a+b+c) (kは０でない定数) 「１次のa,b,cの対称式との積」となるのはどうしてでしょうか？ 「k(a+b+c) (kは０でない定数)」とどうしてこのようにおけるのでしょうか？ 同次交代式、反対称とはどういうものをいうのでしょうか。（検索してもわからず） 大学受験レベルまででお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 調和多項式に関する補題
調和多項式に関する次のような補題を考えています。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ Ｈ：調和多項式の全体 Ｈk：Ｈのk次斉次式全体 としたとき、ＨはＨkの和としてただ一通りに 表される（直和） つまり、 Ｈ＝ΣＨk（Σはk=0から∞までの和） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【質問１】 ただ一通りの和として書けることを示すためには、 f(x)∈Ｈをとり、 f(x)＝Σhk(x)＝Σh'k(x) …(1) （※Σはk=0から∞までの和、hk(x),h'k(x)∈Ｈk） としたとき、hk(x)＝h'k(x)を示せばいいと考えたのですが、これはほぼ明らかとのこと。なぜ明らかなのでしょうか？ 【質問２】 また(1)に関して、この和はk=0から∞までの和なので 無限和のように思えますが、実際はf(x)が多項式のため、ゼロでないhk(x)は有限個らしいのですが、これはどうしてでしょう？ （ゼロでないhk(x)は有限個なので、ほとんどのhk(x)がゼロであり、このhk(x)をf(x)∈Ｈのk次斉次成分と呼ぶらしいのですが、こう呼ぶ理由も知りたいです。） 【質問３】 質問１の部分が分かれば、この補題の証明は終わりだと思ったのですが、それでは不完全で、この補題の証明はf(x)∈Ｈに対して f(x)＝Σhk(x) (※deghk(x)=k) と一通りに書いたときに、hk(x)∈Ｈであることを調べ なければならないようです。 hk(x)∈Ｈkであり、ＨkはＨのk次斉次式全体なので hk(x)∈Ｈは明らかなのではないかと思ったのですが、 そう簡単にはいえないのでしょうか。 また、この補題の証明で、なぜhk(x)∈Ｈであることを調べなければならないのでしょうか。 以上３つが質問です。長くなってしまいましたが、回答よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
実際の計算をするのも大切ですね、お返事ありがとうございます。