直線と平面の平行と交差 定理の証明についての疑問
- 直線と平面の平行と交差に関する定理(1)と(2)に疑問があります。
- 平行な直線に対して平行な平面上の1点を通る直線も平面上に含まれるという定理(1)から、交差する平面の証明(2)が導かれるとされています。
- しかし、直線と平面の関係性において直線が平面上に含まれることの否定が証明に影響するのか、また平行の場合についても考慮する必要があるのかについて疑問があります。証明の解説をお願いします。
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直線と平面の平行
立体幾何学の証明で疑問があったので質問します。 平面に平行な直線に、その平面上の1点を通って平行に引いた直線は、元の平面に含まれる。・・・(1) という定理があります。 添付した図では、直線YY'と平面Pがあってこれが平行なときに、平面P上の1点Aを通過して、YY'に平行な直線XX'は平面P内に含まれるというものである。 この定理(1)から、平行２直線の1つの交わる平面は他の1つとも交わる・・・(2)の定理も導ける、と本に書いてあります。 題意は、平行線XX',YY'があるとき、一方のXX'と交わる平面Pは他の一方のYY'とも交わる。 証明は、もし仮に平面PがYY'に平行であるとすれば、XX'はP内に含まれなければならない。ゆえに、PはYY'に平行ではなく、したがって、YY'と交わる。 ここから疑問点を書きます。定理(2)は、XX'と交わる平面Pと仮定しているので、定理(1)の結論、YY'に平行な直線XX'は平面P内に含まれるというものである。を否定し対偶をとった証明になっていると自分は思ったのですが、平面と直線の位置の関係は、交わる、平行、平面が直線を含む。の3つあるので、XX'と交わる平面Pと仮定することは、直線XX'は平面P内に含まれるの否定になるのかどうかが、疑問です。平行の場合はどうなのかが考える必要があるのかどうかが分からないのです。 どなたか定理(1)を利用した定理(2)の証明の解説と、直線XX'は平面P内に含まれるは、直線XX'と交わる平面Pで否定できるかを解説してください。お願いします。
- situmonn9876
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定理(2)の仮定：XX'とYY'は平行，XX'は平面Pと交わる XX'は平面Pと交わるのだから平面P上の1点Aを通過する。 もしYY'と平面Pが平行ならば定理(1)の仮定が成り立つので，XX'は平面Pに含まれる。 これは定理(2)の仮定に反するので，YY'と平面Pは平行ではない。したがってYY'と平面Pは交わる。 対偶をとった証明にはなっていません。
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