フーリエ級数展開に関しての質問です

質問

f(x)=-x^2+3x(-π≦x≦π)の条件でフーリエ級数展開をする問題がわかりません。途中式も含めて回答お願いしたいです。

回答No.1

info33

f(x)= -x^2+3x (-π≦x≦π), T=2π,
f(x) の フーリエ級数展開を
f(x)=a0/2+Σ[n=1, ∞] { an cos(nx) +bn sin(nx) } (-π≦x≦π),
とおくと, フーリエ係数は
a0=(1/π) ∫ [-π,π] f(x) dx
=(2/π) ∫ [0,π] -x^2 dx
= -(2/3) π^2,

an=(1/π) ∫ [-π,π] f(x) cos(nx) dx
=(2/π) ∫ [0,π] (-x^2) cos(nx) dx
= -(2/π) (1/n^3) [((n^2*x^2-2) sin(nx)+2nx cos(nx))] [0,π]
= -(2/π) (1/n^3) [ 2nx cos(nx))] [0,π]
= -(4/(πn^2)) { π cos(nπ) }
= 4((-1)^(n+1)) / n^2,
bn=(1/π) ∫ [-π,π] f(x) sin(nx) dx
=(2/π) ∫ [0,π] (3x) sin(nx) dx
=(2/π) (3/n^2) [ sin(nx)-nx cos(nx) ] [0,π]
=(6/(πn^2)) [ -nπ cos(nπ) ]
= 6((-1)^(n+1))/n,
(n=1,2,3, ... )

f(x)= -(1/3) π^2 +Σ[n=1, ∞] 2((-1)^(n+1)) { (2/n^2) cos(nx) +(3/n) sin(nx) },
(-π≦x≦π)